Sejam e subespaços de um espaço vetorial sobre um corpo . Mostre que é subespaço de se, e somente se, ou .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois subespaços, chamados e , dentro de um espaço vetorial sobre um corpo . A pergunta é: quando a união desses dois subespaços, , também é um subespaço de ? A gente vai precisar entender o que é um subespaço e ver as condições para que a união deles seja um subespaço.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que é um subespaço. Um subconjunto de é um subespaço se:
  1. O vetor zero de está em .
  2. Se e estão em , então também está em .
  3. Se está em e é um escalar em , então está em .

Passo 3

Queremos saber quando satisfaz essas três condições. A união contém todos os vetores que estão em ou em . Vamos ver o que precisa acontecer para que essa união seja um subespaço.

Passo 4

Primeiro, o vetor zero está em e em , já que ambos são subespaços. Então, o vetor zero está em . Isso satisfaz a primeira condição.

Passo 5

Agora, vamos ver a segunda condição: se pegar dois vetores e em , a soma também deve estar em . Aqui é que a coisa complica.

Passo 6

Suponha que esteja em e esteja em . A soma precisa estar ou em ou em para que seja um subespaço. Mas, em geral, isso não acontece a menos que um dos subespaços esteja contido no outro.

Passo 7

Por exemplo, se , então qualquer vetor em está mesmo em . Assim, a soma de dois vetores em estará em , garantindo que seja um subespaço. O mesmo vale se .

Passo 8

Se nenhum dos subespaços está contido no outro, pode existir vetores em que não estão em e vice-versa. A soma desses vetores pode sair da união , fazendo com que não seja um subespaço.

Passo 9

Então, para que a união seja um subespaço de , é necessário e suficiente que um dos subespaços esteja contido no outro, ou seja, que ou .

Resposta

A união é um subespaço de se, e somente se, ou .

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