Sejam
e
subespaços de
um espaço vetorial sobre um corpo
. Mostre que
é subespaço de
se, e somente se,
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois subespaços, chamados
e
, dentro de um espaço vetorial
sobre um corpo
. A pergunta é: quando a união desses dois subespaços,
, também é um subespaço de
? A gente vai precisar entender o que é um subespaço e ver as condições para que a união deles seja um subespaço.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que é um subespaço. Um subconjunto
de
é um subespaço se:
- O vetor zero de
está em . - Se
e estão em , então também está em . - Se
está em e é um escalar em , então está em .
Passo 3
Queremos saber quando
satisfaz essas três condições. A união
contém todos os vetores que estão em
ou em
. Vamos ver o que precisa acontecer para que essa união seja um subespaço.
Passo 4
Primeiro, o vetor zero está em
e em
, já que ambos são subespaços. Então, o vetor zero está em
. Isso satisfaz a primeira condição.
Passo 5
Agora, vamos ver a segunda condição: se pegar dois vetores
e
em
, a soma
também deve estar em
. Aqui é que a coisa complica.
Passo 6
Suponha que
esteja em
e
esteja em
. A soma
precisa estar ou em
ou em
para que
seja um subespaço. Mas, em geral, isso não acontece a menos que um dos subespaços esteja contido no outro.
Passo 7
Por exemplo, se
, então qualquer vetor em
está mesmo em
. Assim, a soma de dois vetores em
estará em
, garantindo que
seja um subespaço. O mesmo vale se
.
Passo 8
Se nenhum dos subespaços está contido no outro, pode existir vetores em
que não estão em
e vice-versa. A soma desses vetores pode sair da união
, fazendo com que
não seja um subespaço.
Passo 9
Então, para que a união
seja um subespaço de
, é necessário e suficiente que um dos subespaços esteja contido no outro, ou seja, que
ou
.
Resposta
A união
é um subespaço de
se, e somente se,
ou
.
Exercícios relacionados
(Teorema de Pitágoras). Prove que,
se, e somente se,
, onde
.
Sendo
, calcule o ângulo e a distância entre as funções
.
Seja
um espaço vetorial com produto interno
. Prove que
é um subespaço de
.
Sejam
e
vetores em
. Quais dos vetores
e
são combinações lineares dos vetores
e
?