Seja
o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem
. Qual dos seguintes conjuntos de matrizes em
são subespaços vetoriais de
? Justifique sua resposta.
(e) Todas as matrizes
diagonais.
(e) Todas as matrizes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto de todas as matrizes diagonais de ordem
é um subespaço vetorial do espaço
que contém todas as matrizes quadradas de ordem
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um subespaço vetorial e ver se as matrizes diagonais atendem a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é um subespaço vetorial. Um subespaço
de um espaço vetorial
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: Ou seja, a matriz toda de zeros precisa estar em
. - Fechado sob adição: Se você pegar duas matrizes quaisquer em
e somar elas, o resultado também precisa estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer matriz de
por um número escalar, o resultado também precisa estar em .
Vamos ver se o conjunto das matrizes diagonais satisfaz essas condições.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
A matriz zero é uma matriz onde todos os elementos são zero, inclusive os da diagonal principal. Então, ela é uma matriz diagonal. Portanto, a matriz zero está no conjunto das matrizes diagonais.
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes diagonais quaisquer, digamos
e
. Como são diagonais, todos os elementos fora da diagonal são zero. Ao somar
, os elementos da diagonal principal serão a soma dos elementos correspondentes de
e
, e os demais elementos continuarão sendo zero. Isso significa que
também é uma matriz diagonal.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos multiplicar uma matriz diagonal
por um escalar
. Cada elemento da diagonal principal será multiplicado por
, e os demais elementos permanecem zero. Assim,
também é uma matriz diagonal.
Passo 4
Como o conjunto das matrizes diagonais satisfaz todas as três condições necessárias para ser um subespaço vetorial, podemos concluir que ele é, de fato, um subespaço de
.
Resposta
Sim, o conjunto de todas as matrizes diagonais de ordem
é um subespaço vetorial de
, pois contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.