Seja o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem . Qual dos seguintes conjuntos de matrizes em são subespaços vetoriais de ? Justifique sua resposta.
(e) Todas as matrizes diagonais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto de todas as matrizes diagonais de ordem é um subespaço vetorial do espaço que contém todas as matrizes quadradas de ordem . Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define um subespaço vetorial e ver se as matrizes diagonais atendem a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
Contém o vetor zero: Ou seja, a matriz toda de zeros precisa estar em .
Fechado sob adição: Se você pegar duas matrizes quaisquer em e somar elas, o resultado também precisa estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer matriz de por um número escalar, o resultado também precisa estar em .
Vamos ver se o conjunto das matrizes diagonais satisfaz essas condições.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
A matriz zero é uma matriz onde todos os elementos são zero, inclusive os da diagonal principal. Então, ela é uma matriz diagonal. Portanto, a matriz zero está no conjunto das matrizes diagonais.
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes diagonais quaisquer, digamos e . Como são diagonais, todos os elementos fora da diagonal são zero. Ao somar , os elementos da diagonal principal serão a soma dos elementos correspondentes de e , e os demais elementos continuarão sendo zero. Isso significa que também é uma matriz diagonal.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos multiplicar uma matriz diagonal por um escalar . Cada elemento da diagonal principal será multiplicado por , e os demais elementos permanecem zero. Assim, também é uma matriz diagonal.
Passo 4
Como o conjunto das matrizes diagonais satisfaz todas as três condições necessárias para ser um subespaço vetorial, podemos concluir que ele é, de fato, um subespaço de .
Resposta
Sim, o conjunto de todas as matrizes diagonais de ordem é um subespaço vetorial de , pois contém a matriz zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.