Sejam v1, v2, ldots, vn vetores em um espaço vetorial V e T: V W uma transformação linear.
Se T(v1), T(v2), ldots, T(vn) é linearmente independente em W, prove que v1, v2, ldots, vn é linearmente independente em V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente prove que se a imagem dos vetores através de uma transformação linear é um conjunto de vetores linearmente independente, ou seja, é linearmente independente em , então os vetores originais também são linearmente independentes em . Para isso, vamos precisar entender o que é transformação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação T(u + v) = T(u) + T(v) e T(cv) = cT(v) é linear se ela respeita as operações de adição e multiplicação por escalar, ou seja, para quaisquer vetores e escalar , temos:
Isso é importante porque garante que a transformação preserva as estruturas lineares dos vetores.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre independência linear. Um conjunto de vetores a1w1 + a2w2 + ldots + anwn = 0 implies a1 = a2 = ldots = an = 0 é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
Esse conceito é chave para provarmos o que o exercício pede.

Passo 4

Vamos começar assumindo que a1v1 + a2v2 + ldots + anvn = 0 não é linearmente independente. Isso significaria que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero, ou seja:
onde pelo menos um dos não é zero.

Passo 5

Agora, aplicamos a transformação linear T(a1v1 + a2v2 + ldots + anvn) = T(0) = 0 em ambos os lados dessa igualdade:
a1T(v1) + a2T(v2) + ldots + anT(vn) = 0
Devido à linearidade de , podemos distribuir sobre a soma e a multiplicação por escalar:

Passo 6

Já que sabemos que a1 = a2 = ldots = an = 0 é linearmente independente em , a única solução para essa combinação linear ser zero é que todos os coeficientes sejam zero:
Isso contradiz nossa suposição inicial de que pelo menos um não era zero.

Passo 7

Como chegamos a uma contradição, nossa suposição de que não é linearmente independente está errada. Portanto, devemos concluir que é realmente um conjunto de vetores linearmente independente em .

Resposta

Os vetores são linearmente independentes em .

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