Sejam
vetores em um espaço vetorial
e
uma transformação linear.
Se
é linearmente independente em
, prove que
é linearmente independente em
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente prove que se a imagem dos vetores
através de uma transformação linear
é um conjunto de vetores linearmente independente, ou seja,
é linearmente independente em
, então os vetores originais
também são linearmente independentes em
. Para isso, vamos precisar entender o que é transformação linear e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação
é linear se ela respeita as operações de adição e multiplicação por escalar, ou seja, para quaisquer vetores
e escalar
, temos:
Isso é importante porque garante que a transformação preserva as estruturas lineares dos vetores.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre independência linear. Um conjunto de vetores
é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
Esse conceito é chave para provarmos o que o exercício pede.
Passo 4
Vamos começar assumindo que
não é linearmente independente. Isso significaria que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero, ou seja:
onde pelo menos um dos
não é zero.
Passo 5
Agora, aplicamos a transformação linear
em ambos os lados dessa igualdade:
Devido à linearidade de
, podemos distribuir
sobre a soma e a multiplicação por escalar:
Passo 6
Já que sabemos que
é linearmente independente em
, a única solução para essa combinação linear ser zero é que todos os coeficientes sejam zero:
Isso contradiz nossa suposição inicial de que pelo menos um
não era zero.
Passo 7
Como chegamos a uma contradição, nossa suposição de que
não é linearmente independente está errada. Portanto, devemos concluir que
é realmente um conjunto de vetores linearmente independente em
.
Resposta
Os vetores
são linearmente independentes em
.