Sejam vetores em um espaço vetorial e uma transformação linear.
Se é linearmente independente em , prove que é linearmente independente em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente prove que se a imagem dos vetores através de uma transformação linear é um conjunto de vetores linearmente independente, ou seja, é linearmente independente em , então os vetores originais também são linearmente independentes em . Para isso, vamos precisar entender o que é transformação linear e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela respeita as operações de adição e multiplicação por escalar, ou seja, para quaisquer vetores e escalar , temos:
Isso é importante porque garante que a transformação preserva as estruturas lineares dos vetores.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
Esse conceito é chave para provarmos o que o exercício pede.
Passo 4
Vamos começar assumindo que não é linearmente independente. Isso significaria que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero, ou seja:
onde pelo menos um dos não é zero.
Passo 5
Agora, aplicamos a transformação linear em ambos os lados dessa igualdade:
Devido à linearidade de , podemos distribuir sobre a soma e a multiplicação por escalar:
Passo 6
Já que sabemos que é linearmente independente em , a única solução para essa combinação linear ser zero é que todos os coeficientes sejam zero:
Isso contradiz nossa suposição inicial de que pelo menos um não era zero.
Passo 7
Como chegamos a uma contradição, nossa suposição de que não é linearmente independente está errada. Portanto, devemos concluir que é realmente um conjunto de vetores linearmente independente em .