(Simon & Blume - Exercício 7.21) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções do sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b1=ldots=bm=0, e (ii) para um lado direito geral b1, ldots, bm ?
[lll1 & 4 & 3 2 & 1 & 0]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz de coeficientes de um sistema de equações lineares:
1 & 4 & 3 2 & 1 & 0
O exercício quer saber quantas soluções esse sistema tem em dois casos:
  1. Quando todos os termos do lado direito das equações são zero ( ), ou seja, o sistema homogêneo.
  2. Quando os termos do lado direito são quaisquer valores ( ).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados ao número de equações e incógnitas, e analisar o posto da matriz.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o número de equações e incógnitas no sistema. Nossa matriz tem 2 linhas e 3 colunas, o que significa que temos 2 equações e 3 incógnitas.

Passo 3

Agora, vamos determinar o posto da matriz. O posto é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes na matriz. Para a nossa matriz:
1 & 4 & 3 2 & 1 & 0
Podemos observar que as duas linhas são linearmente independentes, pois nenhuma é múltiplo da outra. Portanto, o posto da matriz é 2.

Passo 4

No caso homogêneo ( ), um sistema linear sempre tem pelo menos a solução trivial (onde todas as incógnitas são zero). Além disso, se o número de incógnitas for maior que o posto da matriz, haverá infinitas soluções. Aqui, temos 3 incógnitas e o posto é 2, então teremos infinitas soluções para o sistema homogêneo.

Passo 5

Para o caso geral ( quaisquer), queremos saber se o sistema tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções. Como o posto da matriz dos coeficientes é 2 e temos 2 equações, se o sistema for compatível (isto é, as equações não forem contraditórias), ele terá solução única. Caso contrário, não haverá solução.

Resposta

Para a matriz dada:
  1. No caso homogêneo ( ), o sistema tem infinitas soluções.
  2. Para um lado direito geral ( quaisquer), o sistema tem uma solução única se for compatível.

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[ll2 & 1 1 & 4 0 & 3]