(Simon & Blume - Exercício 7.21) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções do sistema correspondente: (i) quando o lado direito é , e (ii) para um lado direito geral ?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz de coeficientes de um sistema de equações lineares:
O exercício quer saber quantas soluções esse sistema tem em dois casos:
Quando todos os termos do lado direito das equações são zero (), ou seja, o sistema homogêneo.
Quando os termos do lado direito são quaisquer valores ().
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados ao número de equações e incógnitas, e analisar o posto da matriz.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos o número de equações e incógnitas no sistema. Nossa matriz tem 2 linhas e 3 colunas, o que significa que temos 2 equações e 3 incógnitas.
Passo 3
Agora, vamos determinar o posto da matriz. O posto é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes na matriz. Para a nossa matriz:
Podemos observar que as duas linhas são linearmente independentes, pois nenhuma é múltiplo da outra. Portanto, o posto da matriz é 2.
Passo 4
No caso homogêneo (), um sistema linear sempre tem pelo menos a solução trivial (onde todas as incógnitas são zero). Além disso, se o número de incógnitas for maior que o posto da matriz, haverá infinitas soluções. Aqui, temos 3 incógnitas e o posto é 2, então teremos infinitas soluções para o sistema homogêneo.
Passo 5
Para o caso geral ( quaisquer), queremos saber se o sistema tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções. Como o posto da matriz dos coeficientes é 2 e temos 2 equações, se o sistema for compatível (isto é, as equações não forem contraditórias), ele terá solução única. Caso contrário, não haverá solução.
Resposta
Para a matriz dada:
No caso homogêneo (), o sistema tem infinitas soluções.
Para um lado direito geral ( quaisquer), o sistema tem uma solução única se for compatível.