(Simon & Blume - Exercício 7.21) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções do sistema correspondente: (i) quando o lado direito é , e (ii) para um lado direito geral ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de sistemas de equações lineares usando matrizes de coeficientes. O que precisamos fazer é analisar a seguinte matriz:
1 & 4 & 3 2 & 1 & 0 0 & 7 & 6
E descobrir quantas soluções o sistema correspondente tem em dois casos:
Quando todo o lado direito das equações é zero ().
Quando o lado direito pode ser qualquer número ( gerais).
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como o posto da matriz e a consistência dos sistemas. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter soluções quando todo o lado direito é zero. Isso se chama sistema homogêneo. Sempre existe pelo menos uma solução, que é a trivial (todas as variáveis iguais a zero). Mas pode haver mais soluções se as equações forem dependentes.
Vamos verificar se nosso sistema homogêneo tem apenas essa solução ou infinitas soluções. Para isso, precisamos ver se as linhas da matriz são linearmente independentes ou não. Se elas forem independentes, a única solução é a trivial. Caso contrário, temos infinitas soluções.
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz, que nos ajuda a saber se as linhas são independentes. Se o determinante for diferente de zero, as linhas são independentes.
O determinante é zero, o que significa que as linhas da matriz são dependentes. Isso indica que o sistema homogêneo tem infinitas soluções.
Passo 4
Agora, vamos analisar o caso geral, onde o lado direito não é necessariamente zero. Para isso, usamos o conceito de sistema consistente ou inconsistente.
Como o determinante da matriz é zero, a matriz não tem posto completo. Isso significa que o sistema pode ou não ter solução, dependendo dos valores de . Se os termos independentes satisfizerem certas condições, o sistema terá solução; caso contrário, será inconsistente e não terá solução.
Resposta
Para a matriz dada:
1 & 4 & 3 2 & 1 & 0 0 & 7 & 6
(i) Quando , o sistema homogêneo tem infinitas soluções.
(ii) Para um lado direito geral , o sistema pode ter uma solução ou ser inconsistente, dependendo dos valores específicos de .