Seja . Então calcule , onde
© .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que estamos trabalhando com o espaço vetorial . Isso significa que estamos lidando com vetores que têm duas componentes, tipo . A nossa tarefa é calcular as coordenadas dos vetores e em relação à base . Basicamente, vamos descobrir como esses vetores são representados nessa base específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma base. Em álgebra linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que podem gerar qualquer vetor no espaço através de combinações lineares. No nosso caso, a base é a base padrão para , onde pode ser, por exemplo, os números reais.

Passo 3

Agora, para encontrar as coordenadas de um vetor em relação a essa base, precisamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base. Ou seja, queremos encontrar escalares e tais que:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo esse sistema, vemos que e . Portanto, as coordenadas do vetor na base são simplesmente . Ou seja, no caso da base padrão, os vetores já estão escritos em suas coordenadas próprias.

Passo 5

Aplicando isso ao vetor , temos que suas coordenadas na base são , pois não precisamos fazer nenhuma conversão adicional.

Resposta

As coordenadas dos vetores e na base são respectivamente e .

Exercícios relacionados

Sejam uma base de . Determine .
Se |.|| for a norma do máximo, calcule :
;
Se |.|| for a norma do máximo, calcule :
;
Se |.|| for a norma da soma, calcule :
;