Sejam uma base de . Determine .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial e uma base . O objetivo é encontrar as coordenadas de um vetor qualquer nessa base . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de bases e coordenadas em espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, sabemos que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja,
onde , e são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos expandir a combinação linear:
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, igualamos as coordenadas correspondentes dos dois vetores:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , e .

Passo 5

Começando pela terceira equação, podemos facilmente ver que:

Passo 6

Substituímos na segunda equação:

Passo 7

Agora, substituímos e na primeira equação:

Resposta

As coordenadas de na base são:

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Se |.|| for a norma do máximo, calcule :
;
Seja . Então calcule , onde
© .
Se |.|| for a norma do máximo, calcule :
;