Sejam V=F^3 e beta=(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) uma base de V. Determine [(x, y, z)]beta.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial V = F^3 e uma base beta = (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1). O objetivo é encontrar as coordenadas de um vetor qualquer (x, y, z) nessa base beta. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de bases e coordenadas em espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, sabemos que qualquer vetor (x, y, z) em V pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base beta. Ou seja,
(x, y, z) = c1(1,0,0) + c2(1,1,0) + c3(1,1,1)
onde c1, c2 e c3 são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos expandir a combinação linear:
(x, y, z) = (c1 + c2 + c3, ; 0c1 + c2 + c3, ; 0c1 + 0c2 + c3)
Simplificando, temos:
(x, y, z) = (c1 + c2 + c3, ; c2 + c3, ; c3)

Passo 4

Agora, igualamos as coordenadas correspondentes dos dois vetores:
x = c1 + c2 + c3 y = c2 + c3 z = c3
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar c1, c2 e c3.

Passo 5

Começando pela terceira equação, podemos facilmente ver que:
c3 = z

Passo 6

Substituímos c3 na segunda equação:
y = c2 + z Rightarrow c2 = y - z

Passo 7

Agora, substituímos c2 e c3 na primeira equação:
x = c1 + (y - z) + z Rightarrow x = c1 + y Rightarrow c1 = x - y

Resposta

As coordenadas de (x, y, z) na base beta são:
[(x, y, z)]beta = (x - y, ; y - z, ; z)

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