Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial e uma base . O objetivo é encontrar as coordenadas de um vetor qualquer nessa base . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de bases e coordenadas em espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, sabemos que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja,
onde , e são escalares que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos expandir a combinação linear:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, igualamos as coordenadas correspondentes dos dois vetores:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar c1, c2 e c3.
Passo 5
Começando pela terceira equação, podemos facilmente ver que:
c3 = z
Passo 6
Substituímos c3 na segunda equação:
y = c2 + z Rightarrow c2 = y - z
Passo 7
Agora, substituímos c2 e c3 na primeira equação:
x = c1 + (y - z) + z Rightarrow x = c1 + y Rightarrow c1 = x - y