Sejam V=F^2 e beta=(3,5),(1,2) uma base de V. Se
[I]beta^alpha=(rr -1 & 4 4 & -11 ),
então determine a base alpha.

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial [I]beta^alpha = -1 & 4 4 & -11 e uma base conhecida . Também nos foi dada a matriz de mudança de base de para , que é:
Nosso objetivo é determinar a base .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Ela nos ajuda a converter coordenadas de um vetor de uma base para outra. Nesse caso, a matriz transforma coordenadas da base para a base .

Passo 3

Para encontrar a base , vamos usar a relação entre as matrizes de mudança de base e as bases em si. Se tivermos as coordenadas dos vetores de na base , podemos reconstruir os vetores de somando combinações lineares dos vetores de .

Passo 4

Vamos chamar os vetores da base alpha1 = -1 cdot (3,5) + 4 cdot (1,2) de alpha2 = 4 cdot (3,5) + (-11) cdot (1,2) e . A matriz de mudança de base nos dá as coordenadas de e na base :

Passo 5

Agora, vamos calcular cada combinação linear:
Para alpha1 = (-1 cdot 3 + 4 cdot 1, -1 cdot 5 + 4 cdot 2) = (-3 + 4, -5 + 8) = (1, 3) :
alpha2 = (4 cdot 3 + (-11) cdot 1, 4 cdot 5 + (-11) cdot 2) = (12 - 11, 20 - 22) = (1, -2)
Para :

Resposta

A base é .

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