Seja V=F^2. Se u=(x1, x2) in V e v=(y1, y2) in V, então V, munido com as operações de adição u oplus v=(3 x2+3 y2,-x1-y1) e multiplicação por escalar a odot u=(3 a x2,-a x1), é um espaço vetorial sobre F?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um conjunto , onde é um corpo, e dois vetores e pertencentes a . As operações de adição e multiplicação por escalar estão definidas da seguinte forma:
  • Adição:
  • Multiplicação por escalar:
Queremos verificar se , com essas operações, forma um espaço vetorial sobre . Para isso, precisamos checar se todas as propriedades de um espaço vetorial são atendidas com essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa satisfazer oito axiomas fundamentais, divididos em três categorias principais: fechamento, axiomas de adição e axiomas de multiplicação por escalar. Vamos verificar cada um deles passo a passo.

Passo 3

1. Fechamento sob a adição: Para quaisquer , também deve estar em .
Vamos calcular . Como são elementos de , as componentes resultantes também estarão em . Portanto, . A propriedade de fechamento sob a adição está satisfeita.

Passo 4

2. Fechamento sob a multiplicação por escalar: Para qualquer escalar e , também deve estar em .
Calculando . Novamente, como pertencem a , as componentes resultantes também pertencem a . Assim, . A propriedade de fechamento sob a multiplicação por escalar está satisfeita.

Passo 5

3. Axiomas de adição:
a) Comutatividade: u oplus v = (3 x2 + 3 y2, -x1 - y1) .
Vamos verificar:
v oplus u = (3 y2 + 3 x2, -y1 - x1)
Observamos que e . Portanto, . A comutatividade está satisfeita.

Passo 6

b) Associatividade: u oplus v = (3 x2 + 3 y2, -x1 - y1) .
Vamos calcular ambos os lados:
Primeiro, (u oplus v) oplus w = (3 cdot (-x1 - y1) + 3 w2, - (3 x2 + 3 y2) - w1) :
= (-3 x1 - 3 y1 + 3 w2, -3 x2 - 3 y2 - w1)
v oplus w = (3 y2 + 3 w2, -y1 - w1)
Simplificando:
u oplus (v oplus w) = (3 x2 + 3 w2, -x1 - (-y1 - w1))
Agora, = (3 x2 + 3 w2, -x1 + y1 + w1) :
(-3 x1 - 3 y1 + 3 w2, -3 x2 - 3 y2 - w1) neq (3 x2 + 3 w2, -x1 + y1 + w1)
Simplificando:
Comparando os dois resultados:
Os dois lados não são iguais, então a associatividade não é satisfeita.

Passo 7

Conclusão: Já que a associatividade da adição não foi satisfeita, com as operações dadas não forma um espaço vetorial sobre . Não precisamos verificar os demais axiomas, pois falta pelo menos um para a definição de espaço vetorial ser atendida.

Resposta

Não, munido das operações definidas não é um espaço vetorial sobre porque não satisfaz o axioma de associatividade da adição.

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