Seja
. Se
e
, então
, munido com as operações de adição
e multiplicação por escalar
, é um espaço vetorial sobre
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um conjunto
, onde
é um corpo, e dois vetores
e
pertencentes a
. As operações de adição e multiplicação por escalar estão definidas da seguinte forma:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Queremos verificar se
, com essas operações, forma um espaço vetorial sobre
. Para isso, precisamos checar se todas as propriedades de um espaço vetorial são atendidas com essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa satisfazer oito axiomas fundamentais, divididos em três categorias principais: fechamento, axiomas de adição e axiomas de multiplicação por escalar. Vamos verificar cada um deles passo a passo.
Passo 3
1. Fechamento sob a adição: Para quaisquer
,
também deve estar em
.
Vamos calcular
. Como
são elementos de
, as componentes resultantes também estarão em
. Portanto,
. A propriedade de fechamento sob a adição está satisfeita.
Passo 4
2. Fechamento sob a multiplicação por escalar: Para qualquer escalar
e
,
também deve estar em
.
Calculando
. Novamente, como
pertencem a
, as componentes resultantes também pertencem a
. Assim,
. A propriedade de fechamento sob a multiplicação por escalar está satisfeita.
Passo 5
3. Axiomas de adição:
a) Comutatividade:
.
Vamos verificar:
Observamos que
e
. Portanto,
. A comutatividade está satisfeita.
Passo 6
b) Associatividade:
.
Vamos calcular ambos os lados:
Primeiro,
:
Simplificando:
Agora,
:
Simplificando:
Comparando os dois resultados:
Os dois lados não são iguais, então a associatividade não é satisfeita.
Passo 7
Conclusão: Já que a associatividade da adição não foi satisfeita,
com as operações dadas não forma um espaço vetorial sobre
. Não precisamos verificar os demais axiomas, pois falta pelo menos um para a definição de espaço vetorial ser atendida.
Resposta
Não,
munido das operações definidas não é um espaço vetorial sobre
porque não satisfaz o axioma de associatividade da adição.
Exercícios relacionados
Sejam
qualquer espaço vetorial sobre
e
. Mostre que se
, então
, munido com as operações de adição
e multiplicação por escalar
, é um espaço vetorial sobre
chama-se complexificação de
. Neste caso,
.
Calcule o resultado das operações vetoriais abaixo, sendo
e
os vetores
,
e
.
Seja
. Se
, então
, munido com as operações de adição usual e multiplicação por escalar
, é um espaço vetorial sobre
?
Seja
. Se
, então
, munido com as operações de adição usual e multiplicação por escalar
, é um espaço vetorial sobre
?