Sejam qualquer espaço vetorial sobre e . Mostre que se , então , munido com as operações de adição e multiplicação por escalar , é um espaço vetorial sobre chama-se complexificação de . Neste caso, .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial real e queremos mostrar que a sua “complexificação”, denotada por , também forma um espaço vetorial, mas agora sobre os números complexos . Para isso, precisamos verificar se satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial quando usamos as operações de adição e multiplicação por escalar definidas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos definir claramente as operações em :
  • Adição: Se tivermos dois vetores e em , a adição é definida por:
  • Multiplicação por escalar: Para um escalar complexo e um vetor em , a multiplicação é definida por:

Passo 3

Vamos lembrar quais são as propriedades que precisa satisfazer para ser um espaço vetorial sobre . As principais propriedades incluem:
  1. Comutatividade da adição:
  2. Associatividade da adição:
  3. Existência do elemento neutro: Existe um vetor tal que
  4. Existência do inverso aditivo: Para cada , existe tal que
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalares:
  6. Distribuição da multiplicação por escalar sobre a soma de escalares:
  7. Associação da multiplicação por escalares:
  8. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para .

Passo 4

1. Comutatividade da adição:
Tomemos e .
Assim, a adição é comutativa.
2. Associatividade da adição:
Tomemos .
Portanto, a adição é associativa.

Passo 5

3. Existência do elemento neutro:
Precisamos encontrar um vetor tal que .
Escolhemos , onde e são os vetores nulos em .
Assim, o elemento neutro existe.
4. Existência do inverso aditivo:
Para cada , queremos encontrar tal que:
Portanto, o inverso aditivo existe.

Passo 6

5. Compatibilidade da multiplicação por escalares com a adição:
Queremos mostrar que para e :
Vamos calcular ambos os lados:
Por outro lado:
Simplificando:
Que é igual a . Portanto, a propriedade é satisfeita.

Passo 7

6. Distribuição da multiplicação por escalares sobre a soma de escalares:
Queremos mostrar que para e :
Calculando ambos os lados:
Seja e .
Por outro lado:
Portanto, .
7. Associação da multiplicação por escalares:
Queremos mostrar que para e :
Vamos calcular ambos os lados:
Expandindo e simplificando:
Agora, calculando :
Se e , então .
Comparando com o que obtivemos acima, vemos que são iguais. Portanto, a propriedade é satisfeita.
8. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Queremos mostrar que .
é
Portanto, o elemento neutro da multiplicação por escalar é satisfeito.

Resposta

Como todas as propriedades de um espaço vetorial sobre são satisfeitas por com as operações definidas, concluímos que é, de fato, um espaço vetorial sobre os números complexos , conhecido como a complexificação de .

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Calcule o resultado das operações vetoriais abaixo, sendo e os vetores , e .
Sejam espaços vetoriais sobre e . Mostre que se , então , munido com as operaçães de adição
e multiplicação por escalar

é um espaço vetorial sobre e chama-se soma direta externa dos espaços e denotamos por .
Seja . Se e , então , munido com as operações de adição e multiplicação por escalar , é um espaço vetorial sobre ?
Seja . Se , então , munido com as operações de adição usual e multiplicação por escalar , é um espaço vetorial sobre ?