Sejam
qualquer espaço vetorial sobre
e
. Mostre que se
, então
, munido com as operações de adição
e multiplicação por escalar
, é um espaço vetorial sobre
chama-se complexificação de
. Neste caso,
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial real
e queremos mostrar que a sua “complexificação”, denotada por
, também forma um espaço vetorial, mas agora sobre os números complexos
. Para isso, precisamos verificar se
satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial quando usamos as operações de adição e multiplicação por escalar definidas no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos definir claramente as operações em
:
-
Adição: Se tivermos dois vetores
e em , a adição é definida por: -
Multiplicação por escalar: Para um escalar complexo
e um vetor em , a multiplicação é definida por:
Passo 3
Vamos lembrar quais são as propriedades que
precisa satisfazer para ser um espaço vetorial sobre
. As principais propriedades incluem:
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Existência do elemento neutro: Existe um vetor
tal que - Existência do inverso aditivo: Para cada
, existe tal que - Compatibilidade da multiplicação por escalares:
- Distribuição da multiplicação por escalar sobre a soma de escalares:
- Associação da multiplicação por escalares:
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para
.
Passo 4
1. Comutatividade da adição:
Tomemos
e
.
Assim, a adição é comutativa.
2. Associatividade da adição:
Tomemos
.
Portanto, a adição é associativa.
Passo 5
3. Existência do elemento neutro:
Precisamos encontrar um vetor
tal que
.
Escolhemos
, onde
e
são os vetores nulos em
.
Assim, o elemento neutro existe.
4. Existência do inverso aditivo:
Para cada
, queremos encontrar
tal que:
Portanto, o inverso aditivo existe.
Passo 6
5. Compatibilidade da multiplicação por escalares com a adição:
Queremos mostrar que para
e
:
Vamos calcular ambos os lados:
Por outro lado:
Simplificando:
Que é igual a
. Portanto, a propriedade é satisfeita.
Passo 7
6. Distribuição da multiplicação por escalares sobre a soma de escalares:
Queremos mostrar que para
e
:
Calculando ambos os lados:
Seja
e
.
Por outro lado:
Portanto,
.
7. Associação da multiplicação por escalares:
Queremos mostrar que para
e
:
Vamos calcular ambos os lados:
Expandindo e simplificando:
Agora, calculando
:
Se
e
, então
.
Comparando com o que obtivemos acima, vemos que são iguais. Portanto, a propriedade é satisfeita.
8. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Queremos mostrar que
.
Portanto, o elemento neutro da multiplicação por escalar é satisfeito.
Resposta
Como todas as propriedades de um espaço vetorial sobre
são satisfeitas por
com as operações definidas, concluímos que
é, de fato, um espaço vetorial sobre os números complexos
, conhecido como a complexificação de
.
Exercícios relacionados
Calcule o resultado das operações vetoriais abaixo, sendo
e
os vetores
,
e
.
Sejam
espaços vetoriais sobre
e
. Mostre que se
, então
, munido com as operaçães de adição
e multiplicação por escalar
é um espaço vetorial sobre e chama-se soma direta externa dos espaços
e denotamos por
.
é um espaço vetorial sobre
Seja
. Se
e
, então
, munido com as operações de adição
e multiplicação por escalar
, é um espaço vetorial sobre
?
Seja
. Se
, então
, munido com as operações de adição usual e multiplicação por escalar
, é um espaço vetorial sobre
?