Sejam V qualquer espaço vetorial sobre R e tildeVtildeV=V^C=V times V. Mostre que se u=(u1, u2) in tildeV e v=(v1, v2) in tildeV, então tildeV, munido com as operações de adição u oplus v=(u1+v1, u2+v2) e multiplicação por escalar (a+i b) odot u=(a u1-b u2, a u2+b u1), é um espaço vetorial sobre C e chama-se complexificação de V. Neste caso, tildeV=u+i v: u, v in V.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial real e queremos mostrar que a sua “complexificação”, denotada por , também forma um espaço vetorial, mas agora sobre os números complexos . Para isso, precisamos verificar se satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial quando usamos as operações de adição e multiplicação por escalar definidas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos definir claramente as operações em u oplus v = (u1 + v1, u2 + v2) :
  • Adição: Se tivermos dois vetores (a + ib) odot u = (au1 - bu2, au2 + bu1) e em , a adição é definida por:
  • Multiplicação por escalar: Para um escalar complexo e um vetor em , a multiplicação é definida por:

Passo 3

Vamos lembrar quais são as propriedades que precisa satisfazer para ser um espaço vetorial sobre . As principais propriedades incluem:
  1. Comutatividade da adição:
  2. Associatividade da adição:
  3. Existência do elemento neutro: Existe um vetor tal que
  4. Existência do inverso aditivo: Para cada , existe tal que
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalares:
  6. Distribuição da multiplicação por escalar sobre a soma de escalares:
  7. Associação da multiplicação por escalares:
  8. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para .

Passo 4

1. Comutatividade da adição:
Tomemos u oplus v = (u1 + v1, u2 + v2) = (v1 + u1, v2 + u2) = v oplus u e (u oplus v) oplus w = ((u1 + v1, u2 + v2)) oplus (w1, w2) = (u1 + v1 + w1, u2 + v2 + w2) .
u oplus (v oplus w) = (u1, u2) oplus (v1 + w1, v2 + w2) = (u1 + v1 + w1, u2 + v2 + w2)
Assim, a adição é comutativa.
2. Associatividade da adição:
Tomemos .
Portanto, a adição é associativa.

Passo 5

3. Existência do elemento neutro:
Precisamos encontrar um vetor u oplus 0 = (u1 + 01, u2 + 02) = (u1, u2) = u tal que u oplus (-u) = (u1 - u1, u2 - u2) = (01, 02) = 0 .
Escolhemos , onde e são os vetores nulos em .
Assim, o elemento neutro existe.
4. Existência do inverso aditivo:
Para cada , queremos encontrar tal que:
Portanto, o inverso aditivo existe.

Passo 6

5. Compatibilidade da multiplicação por escalares com a adição:
Queremos mostrar que para c odot (u oplus v) = c odot u oplus c odot v e u oplus v = (u1 + v1, u2 + v2) :
c odot (u oplus v) = c odot (u1 + v1, u2 + v2) = (a(u1 + v1) - b(u2 + v2), a(u2 + v2) + b(u1 + v1))
Vamos calcular ambos os lados:
c odot u = (au1 - bu2, au2 + bu1)
c odot v = (av1 - bv2, av2 + bv1)
Por outro lado:
c odot u oplus c odot v = (au1 - bu2 + av1 - bv2, au2 + bu1 + av2 + bv1)
= (a(u1 + v1) - b(u2 + v2), a(u2 + v2) + b(u1 + v1))
Simplificando:
Que é igual a . Portanto, a propriedade é satisfeita.

Passo 7

6. Distribuição da multiplicação por escalares sobre a soma de escalares:
Queremos mostrar que para (c + d) odot u = c odot u oplus d odot u e (c + d) odot u = (a + c) u1 - (b + d) u2, (a + c) u2 + (b + d) u1) :
c odot u = a u1 - b u2, a u2 + b u1
Calculando ambos os lados:
Seja d odot u = c u1 - d u2, c u2 + d u1 e c odot u oplus d odot u = (a u1 - b u2 + c u1 - d u2, a u2 + b u1 + c u2 + d u1) .
= ((a + c) u1 - (b + d) u2, (a + c) u2 + (b + d) u1)
Por outro lado:
c odot (d odot u) = (cd) odot u
d odot u = (cu1 - du2, cu2 + du1)
c odot (d odot u) = c odot (cu1 - du2, cu2 + du1) = (a(cu1 - du2) - b(cu2 + du1), a(cu2 + du1) + b(cu1 - du2))
= (acu1 - adu2 - bcu2 - bdu1, acu2 + adu1 + bcu1 - bdu2)
Portanto, = ((ac - bd)u1 + (-ad - bc)u2, (ad + bc)u1 + (ac - bd)u2) .
7. Associação da multiplicação por escalares:
Queremos mostrar que para (cd) odot u = ((ac - bd)u1 - (ad + bc)u2, (ac - bd)u2 + (ad + bc)u1) e 1 em C é 1 + i0 :
1 odot u = (1 cdot u1 - 0 cdot u2, 1 cdot u2 + 0 cdot u1) = (u1, u2) = u
Vamos calcular ambos os lados:
Expandindo e simplificando:
Agora, calculando :
Se e , então .
Comparando com o que obtivemos acima, vemos que são iguais. Portanto, a propriedade é satisfeita.
8. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Queremos mostrar que .
é
Portanto, o elemento neutro da multiplicação por escalar é satisfeito.

Resposta

Como todas as propriedades de um espaço vetorial sobre são satisfeitas por com as operações definidas, concluímos que é, de fato, um espaço vetorial sobre os números complexos , conhecido como a complexificação de .

Exercícios relacionados