Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar una matriz P que diagonaliza A e calcular P^-1 AP.
a) A=[ll2 & 4 3 & 1]
f) A=[rrr2 & 3 & -1 0 & 1 & -4 0 & 0 & 3]
b) A=[ll9 & 1 4 & 6]
g) A=[rrr1 & -2 & -2 0 & 1 & 0 0 & 2 & 3]
c) A=[rr5 & -1 1 & 3]
d) A=[rrr1 & 2 & 1 -1 & 3 & 1 0 & 2 & 2]
h) A=[rrr3 & 0 & -2 -5 & 1 & 5 2 & 0 & -1]
e) A=[rrr1 & 0 & 0 -2 & 3 & -1 0 & -4 & 3]

Passo 1

No enunciado, temos a matriz 2 & 4 3 & 1 e precisamos verificar se ela é diagonalizável. Se for, devemos encontrar uma matriz que diagonalize e calcular . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados à diagonalização, como valores e vetores próprios.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios de A - lambda I = 2-lambda & 4 3 & 1-lambda . Para isso, resolvemos a equação característica det(A - lambda I) = (2-lambda)(1-lambda) - (4 times 3) = (2-lambda)(1-lambda) - 12 .
Calculando:
= (2 times 1 - 2lambda - lambda + lambda^2) - 12 = lambda^2 - 3lambda - 10 = 0
De
lambda = 3 pm raiz492 Rightarrow lambda1 = 5 e lambda2 = -2
Resolvendo a equação quadrática :

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para (A - 5I)X = 0 Rightarrow 2-5 & 4 3 & 1-5 x y = -3 & 4 3 & -4 x y = 0 0 :
4 3
Da primeira equação: (A + 2I)X = 0 Rightarrow 2+2 & 4 3 & 1+2 x y = 4 & 4 3 & 3 x y = 0 0
Podemos escolher 1 -1, então . Assim, um vetor próprio é .
Para :
Da primeira equação:
Podemos escolher , então . Assim, um vetor próprio é .

Passo 4

Como temos dois valores próprios distintos com vetores próprios linearmente independentes, a matriz P = 4 & 1 3 & -1 é diagonalizável.
A matriz P^-1AP = 5 & 0 0 & -2 que diagonaliza é formada pelos vetores próprios como colunas:
Agora, calculamos . Como diagonaliza , o resultado será uma matriz diagonal com os valores próprios na diagonal:

Resposta

A matriz P = 4 & 1 3 & -1 é diagonalizável. Uma matriz P^-1AP = 5 & 0 0 & -2 que diagonaliza é
e

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