Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar una matriz P que diagonaliza A e calcular .
a)
f)
b)
g)
c)
d)
h)
e)
Passo 1
No enunciado, temos a matriz e precisamos verificar se ela é diagonalizável. Se for, devemos encontrar uma matriz que diagonalize e calcular . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados à diagonalização, como valores e vetores próprios.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios de . Para isso, resolvemos a equação característica .
Calculando:
Resolvendo a equação quadrática :
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para :
Da primeira equação:
Podemos escolher , então . Assim, um vetor próprio é .
Para :
Da primeira equação:
Podemos escolher , então . Assim, um vetor próprio é .
Passo 4
Como temos dois valores próprios distintos com vetores próprios linearmente independentes, a matriz é diagonalizável.
A matriz que diagonaliza é formada pelos vetores próprios como colunas:
Agora, calculamos . Como diagonaliza , o resultado será uma matriz diagonal com os valores próprios na diagonal:
Resposta
A matriz é diagonalizável. Uma matriz que diagonaliza é