Verifique se o conjunto V com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre R.
V=(cca & -b b & a) ; a, b in R, operações usuais em M2(R). Isto é,
(ll a11 & a12 a21 & a22 )+(ll b11 & b12 b21 & b22 ) & =(ll a11+b11 & a12+b12 a21+b21 & a22+b22 ) lambda(ll a11 & a12 a21 & a22 ) & =(ll lambda a11 & lambda a12 lambda a21 & lambda a22 )

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto V = a & -b b & a ; a, b in R que consiste em matrizes da forma:
Queremos verificar se esse conjunto , com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas de maneira usual em , é um espaço vetorial sobre os números reais . Para isso, vamos precisar revisar os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se todos eles são satisfeitos por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial sobre . Existem oito axiomas principais, divididos em duas categorias: os relacionados à adição de vetores e os relacionados à multiplicação por escalar. Vou listar os principais aqui:
  1. Fechamento sob adição: Se e estão em , então também está em .
  2. Comutatividade da adição: .
  3. Associatividade da adição: .
  4. Existência do elemento zero: Existe um vetor zero em tal que para todo .
  5. Existência do inverso aditivo: Para cada , existe um vetor tal que .
  6. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se é um escalar em e , então também está em .
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: .
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: .
  9. Associatividade da multiplicação por escalar: .
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: .
Vamos verificar cada um desses axiomas para o conjunto .

Passo 3

1. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de u = a & -b b & a , v = c & -d d & c , onde a, b, c, d in R :
u + v = a + c & -b - d b + d & a + c
A soma e & -f f & e é:
u + v = a + c & -b - d b + d & a + c = c + a & -d - b d + b & c + a = v + u
Observamos que (u + v) + w = u + (v + w) ainda tem a forma 0V = 0 & 0 0 & 0 , onde a & -b b & a e - u = -a & b -b & -a . Como a & -b b & a e lambda cdot u = lambda a & -lambda b lambda b & lambda a são reais, lambda cdot (u + v) = lambda cdot a + c & -b - d b + d & a + c = lambda(a + c) & -lambda(b + d) lambda(b + d) & lambda(a + c) está em lambda cdot u + lambda cdot v = lambda a & -lambda b lambda b & lambda a + lambda c & -lambda d lambda d & lambda c = lambda(a + c) & -lambda(b + d) lambda(b + d) & lambda(a + c) . Portanto, (lambda + mu) cdot u = (lambda + mu)a & -(lambda + mu)b (lambda + mu)b & (lambda + mu)a é fechado sob adição.
2. Comutatividade da adição:
Vamos verificar se lambda cdot u + mu cdot u = lambda a & -lambda b lambda b & lambda a + mu a & -mu b mu b & mu a = (lambda + mu)a & -(lambda + mu)b (lambda + mu)b & (lambda + mu)a :
lambda cdot (mu cdot u) = lambda cdot mu a & -mu b mu b & mu a = lambda (mu a) & -lambda (mu b) lambda (mu b) & lambda (mu a) = (lambda mu) a & -(lambda mu) b (lambda mu) b & (lambda mu) a
Como a adição dos reais é comutativa, (lambda mu) cdot u = (lambda mu)a & -(lambda mu)b (lambda mu)b & (lambda mu)a . Portanto, a adição é comutativa em 1 cdot u = 1 cdot a & -1 cdot b 1 cdot b & 1 cdot a = a & -b b & a = u .
3. Associatividade da adição:
Para três elementos , e em :
Como a adição de matrizes é associativa, esse axioma é satisfeito em .
4. Existência do elemento zero:
O elemento zero em seria a matriz onde e :
Claramente, está em e para qualquer .
5. Existência do inverso aditivo:
Para cada , o inverso aditivo é:
Assim, , e também está em .
6. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Para um escalar e :
Como e são reais, está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Para e :
Por outro lado:
Portanto, .
8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Para e :
E:
Logo, .
9. Associatividade da multiplicação por escalar:
Para e :
E:
Portanto, .
10. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Para :
Isso mostra que .

Passo 4

Depois de verificar todos os axiomas, podemos concluir que o conjunto satisfaz todas as condições necessárias para ser um espaço vetorial sobre com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas.

Resposta

Sim, o conjunto com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre .

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