Verifique se o conjunto
com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre
.
, operações usuais em
. Isto é,
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto
que consiste em matrizes
da forma:
Queremos verificar se esse conjunto
, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas de maneira usual em
, é um espaço vetorial sobre os números reais
. Para isso, vamos precisar revisar os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se todos eles são satisfeitos por
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial sobre
. Existem oito axiomas principais, divididos em duas categorias: os relacionados à adição de vetores e os relacionados à multiplicação por escalar. Vou listar os principais aqui:
- Fechamento sob adição: Se
e estão em , então também está em . - Comutatividade da adição:
. - Associatividade da adição:
. - Existência do elemento zero: Existe um vetor zero em
tal que para todo . - Existência do inverso aditivo: Para cada
, existe um vetor tal que . - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se
é um escalar em e , então também está em . - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
. - Associatividade da multiplicação por escalar:
. - Elemento neutro da multiplicação por escalar:
.
Vamos verificar cada um desses axiomas para o conjunto
.
Passo 3
1. Fechamento sob adição:
Vamos pegar dois elementos quaisquer de
:
A soma
é:
Observamos que
ainda tem a forma
, onde
e
. Como
e
são reais,
está em
. Portanto,
é fechado sob adição.
2. Comutatividade da adição:
Vamos verificar se
:
Como a adição dos reais é comutativa,
. Portanto, a adição é comutativa em
.
3. Associatividade da adição:
Para três elementos
,
e
em
:
Como a adição de matrizes é associativa, esse axioma é satisfeito em
.
4. Existência do elemento zero:
O elemento zero em
seria a matriz onde
e
:
Claramente,
está em
e
para qualquer
.
5. Existência do inverso aditivo:
Para cada
, o inverso aditivo é:
Assim,
, e
também está em
.
6. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Para um escalar
e
:
Como
e
são reais,
está em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Para
e
:
Por outro lado:
Portanto,
.
8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Para
e
:
E:
Logo,
.
9. Associatividade da multiplicação por escalar:
Para
e
:
E:
Portanto,
.
10. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Para
:
Isso mostra que
.
Passo 4
Depois de verificar todos os axiomas, podemos concluir que o conjunto
satisfaz todas as condições necessárias para ser um espaço vetorial sobre
com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas.
Resposta
Sim, o conjunto
com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre
.