Sejam
e
. Verifique se
é um produto interno sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um espaço vetorial
e define dois vetores
e
. A função que queremos analisar é:
Nosso objetivo é verificar se essa função
é um produto interno em
. Para isso, precisamos entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial é uma função que, para quaisquer dois vetores do espaço, retorna um número real e satisfaz quatro propriedades fundamentais:
- Linearidade em cada argumento: o produto interno é linear em cada componente.
- Simetria:
. - Positividade:
para todo , e se e somente se .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função
dada.
Passo 3
1. Linearidade em cada argumento:
A linearidade significa que, para qualquer escala
e vetores
:
Vamos verificar isso:
Isso mostra que a função é linear no primeiro argumento. A mesma lógica se aplica ao segundo argumento. Portanto, a função
é linear em cada argumento.
Passo 4
2. Simetria:
A simetria exige que:
Vamos verificar:
Portanto,
, o que confirma a simetria.
Passo 5
3. Positividade:
Queremos mostrar que:
para todo
, e que
somente quando
.
No entanto, observe que
é subtraído. Isso significa que se
for grande o bastante,
pode ser negativo. Por exemplo, se
:
Isso viola a condição de positividade, pois esperamos que
para todo vetor
.
Resposta
Não, a função
não é um produto interno em
, pois não satisfaz a condição de positividade.
Exercícios relacionados
Sejam
um espaço euclidiano e
um operador linear
(a) Que condições deve satisfazer para que a função
(a) Que condições
seja um produto interno sobre
Sejam
e
. Verifique se
é um produto interno sobre
.
- Seja
munido com o produto interno
Determine uma base ortonormal de
a partir da base
Seja
com o produto interno usual. Mostre que
é uma base ortogonal de
. Calcule
.