Sejam V=R^3 e u=(x1, x2, x3), v=(y1, y2, y3) in V. Verifique se
f(u, v)=x1 y1+x2 y2-x3 y3
é um produto interno sobre V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um espaço vetorial f(u, v) = x1 y1 + x2 y2 - x3 y3 e define dois vetores e . A função que queremos analisar é:
Nosso objetivo é verificar se essa função é um produto interno em . Para isso, precisamos entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial é uma função que, para quaisquer dois vetores do espaço, retorna um número real e satisfaz quatro propriedades fundamentais:
  1. Linearidade em cada argumento: o produto interno é linear em cada componente.
  2. Simetria: .
  3. Positividade: para todo , e se e somente se .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.

Passo 3

1. Linearidade em cada argumento:
A linearidade significa que, para qualquer escala f(au + v, w) = a f(u, w) + f(v, w) e vetores f(au + v, w) = (a x1 + y1) w1 + (a x2 + y2) w2 - (a x3 + y3) w3 :
= a x1 w1 + y1 w1 + a x2 w2 + y2 w2 - a x3 w3 - y3 w3
Vamos verificar isso:
= a (x1 w1 + x2 w2 - x3 w3) + (y1 w1 + y2 w2 - y3 w3)
= a f(u, w) + f(v, w)
Isso mostra que a função é linear no primeiro argumento. A mesma lógica se aplica ao segundo argumento. Portanto, a função é linear em cada argumento.

Passo 4

2. Simetria:
A simetria exige que:
f(u, v) = f(v, u)
Vamos verificar:
f(u, v) = x1 y1 + x2 y2 - x3 y3
f(v, u) = y1 x1 + y2 x2 - y3 x3
= x1 y1 + x2 y2 - x3 y3
Portanto, , o que confirma a simetria.

Passo 5

3. Positividade:
Queremos mostrar que:
f(u, u) = x1^2 + x2^2 - x3^2 >= 0
para todo f(u, u) = 0 + 0 - 1 = -1 < 0 , e que somente quando .
No entanto, observe que é subtraído. Isso significa que se for grande o bastante, pode ser negativo. Por exemplo, se :
Isso viola a condição de positividade, pois esperamos que para todo vetor .

Resposta

Não, a função não é um produto interno em , pois não satisfaz a condição de positividade.

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