Sejam e . Verifique se
é um produto interno sobre .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um espaço vetorial e define dois vetores e . A função que queremos analisar é:
Nosso objetivo é verificar se essa função é um produto interno em . Para isso, precisamos entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial é uma função que, para quaisquer dois vetores do espaço, retorna um número real e satisfaz quatro propriedades fundamentais:
  1. Linearidade em cada argumento: o produto interno é linear em cada componente.
  2. Simetria: .
  3. Positividade: para todo , e se e somente se .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.

Passo 3

1. Linearidade em cada argumento:
A linearidade significa que, para qualquer escala e vetores :
Vamos verificar isso:
Isso mostra que a função é linear no primeiro argumento. A mesma lógica se aplica ao segundo argumento. Portanto, a função é linear em cada argumento.

Passo 4

2. Simetria:
A simetria exige que:
Vamos verificar:
Portanto, , o que confirma a simetria.

Passo 5

3. Positividade:
Queremos mostrar que:
para todo , e que somente quando .
No entanto, observe que é subtraído. Isso significa que se for grande o bastante, pode ser negativo. Por exemplo, se :
Isso viola a condição de positividade, pois esperamos que para todo vetor .

Resposta

Não, a função não é um produto interno em , pois não satisfaz a condição de positividade.

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Sejam um espaço euclidiano e um operador linear
(a) Que condições deve satisfazer para que a função
seja um produto interno sobre
Sejam e . Verifique se
é um produto interno sobre .
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Determine uma base ortonormal de a partir da base
Seja com o produto interno usual. Mostre que
é uma base ortogonal de . Calcule .