Sejam V um espaço euclidiano e u, v in V, a distância entre u e v é definida por
d(u, v)=|u-v|
Mostre que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um espaço euclidiano e dois vetores e nesse espaço. A distância entre esses vetores é definida por . O que a gente precisa mostrar é que essa função realmente funciona como uma métrica, ou seja, que ela satisfaz certas propriedades que uma distância deve ter.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que uma função precisa ter para ser considerada uma métrica:
  1. Não-negatividade: A distância sempre é maior ou igual a zero.
  2. Identidade dos Indiscerníveis: A distância entre dois pontos é zero se e somente se os pontos são iguais.
  3. Simetria: A distância de para é a mesma que de para .
  4. Desigualdade Triangular: A distância direta de para é menor ou igual à soma das distâncias de para e de para .

Passo 3

Vamos verificar a não-negatividade. Sabemos que a norma d(u, v) = |u - v| >= 0 sempre é maior ou igual a zero porque normas medem “tamanho” ou “distância” que não pode ser negativa. Então:
Isso confirma a primeira propriedade.

Passo 4

Agora, a identidade dos indiscerníveis. Precisamos mostrar que se e somente se .
  • Se , então e .
  • Se , então , ou seja, .
Assim, a segunda propriedade está satisfeita.

Passo 5

Vamos para a simetria. Precisamos mostrar que d(u, v) = |u - v| .
Calculemos:
d(v, u) = |v - u| = | - (u - v) | = |u - v|
Já que a norma de um vetor é igual à norma do vetor multiplicado por -1. Então, a simetria está garantida.

Passo 6

Por último, a desigualdade triangular. Queremos mostrar que:
d(u, w) <= d(u, v) + d(v, w)
Vamos usar a propriedade da norma que diz que para quaisquer vetores |a + b| <= |a| + |b| e |u - w| = |u - v + v - w| <= |u - v| + |v - w| = d(u, v) + d(v, w) :
Aplicando isso à distância:
Então, a desigualdade triangular também está satisfeita.

Resposta

Mostramos que a função satisfaz todas as propriedades de uma métrica, ou seja, não-negatividade, identidade dos indiscerníveis, simetria e desigualdade triangular.

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