Sejam
um espaço euclidiano e
, a distância entre
e
é definida por
Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um espaço euclidiano
e dois vetores
e
nesse espaço. A distância entre esses vetores é definida por
. O que a gente precisa mostrar é que essa função
realmente funciona como uma métrica, ou seja, que ela satisfaz certas propriedades que uma distância deve ter.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que uma função precisa ter para ser considerada uma métrica:
- Não-negatividade: A distância sempre é maior ou igual a zero.
- Identidade dos Indiscerníveis: A distância entre dois pontos é zero se e somente se os pontos são iguais.
- Simetria: A distância de
para é a mesma que de para . - Desigualdade Triangular: A distância direta de
para é menor ou igual à soma das distâncias de para e de para .
Passo 3
Vamos verificar a não-negatividade. Sabemos que a norma
sempre é maior ou igual a zero porque normas medem “tamanho” ou “distância” que não pode ser negativa. Então:
Isso confirma a primeira propriedade.
Passo 4
Agora, a identidade dos indiscerníveis. Precisamos mostrar que
se e somente se
.
- Se
, então e . - Se
, então , ou seja, .
Assim, a segunda propriedade está satisfeita.
Passo 5
Vamos para a simetria. Precisamos mostrar que
.
Calculemos:
Já que a norma de um vetor é igual à norma do vetor multiplicado por -1. Então, a simetria está garantida.
Passo 6
Por último, a desigualdade triangular. Queremos mostrar que:
Vamos usar a propriedade da norma que diz que para quaisquer vetores
e
:
Aplicando isso à distância:
Então, a desigualdade triangular também está satisfeita.
Resposta
Mostramos que a função
satisfaz todas as propriedades de uma métrica, ou seja, não-negatividade, identidade dos indiscerníveis, simetria e desigualdade triangular.