Sejam um espaço euclidiano e , a distância entre e é definida por
Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um espaço euclidiano e dois vetores e nesse espaço. A distância entre esses vetores é definida por . O que a gente precisa mostrar é que essa função realmente funciona como uma métrica, ou seja, que ela satisfaz certas propriedades que uma distância deve ter.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que uma função precisa ter para ser considerada uma métrica:
Não-negatividade: A distância sempre é maior ou igual a zero.
Identidade dos Indiscerníveis: A distância entre dois pontos é zero se e somente se os pontos são iguais.
Simetria: A distância de para é a mesma que de para .
Desigualdade Triangular: A distância direta de para é menor ou igual à soma das distâncias de para e de para .
Passo 3
Vamos verificar a não-negatividade. Sabemos que a norma sempre é maior ou igual a zero porque normas medem “tamanho” ou “distância” que não pode ser negativa. Então:
Isso confirma a primeira propriedade.
Passo 4
Agora, a identidade dos indiscerníveis. Precisamos mostrar que se e somente se .
Se , então e .
Se , então , ou seja, .
Assim, a segunda propriedade está satisfeita.
Passo 5
Vamos para a simetria. Precisamos mostrar que .
Calculemos:
Já que a norma de um vetor é igual à norma do vetor multiplicado por -1. Então, a simetria está garantida.
Passo 6
Por último, a desigualdade triangular. Queremos mostrar que:
Vamos usar a propriedade da norma que diz que para quaisquer vetores e :
Aplicando isso à distância:
Então, a desigualdade triangular também está satisfeita.
Resposta
Mostramos que a função satisfaz todas as propriedades de uma métrica, ou seja, não-negatividade, identidade dos indiscerníveis, simetria e desigualdade triangular.