Verifique se os vetores formam uma base para o espaço dado v1=(2,-1, 0), v2=(1,-1, 2) e v3=(1, 0,-2)

Passo 1

Beleza, vamos ver se os vetores , e formam uma base para o espaço . O conteúdo que vamos usar aqui é de Álgebra Linear, especificamente sobre bases e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar verificar se os vetores são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base para .

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
A = 2 & 1 & 1 -1 & -1 & 0 0 & 2 & -2

Passo 3

Agora, para verificar se os vetores são linearmente independentes, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Vamos calcular o determinante de det(A) = 2 cdot -1 & 0 2 & -2 - 1 cdot -1 & 0 0 & -2 + 1 cdot -1 & -1 0 & 2 :
-1 & 0 2 & -2 = (-1)(-2) - (0)(2) = 2
Calculando cada menor:
-1 & 0 0 & -2 = (-1)(-2) - (0)(0) = 2
-1 & -1 0 & 2 = (-1)(2) - (-1)(0) = -2
det(A) = 2 cdot 2 - 1 cdot 2 + 1 cdot (-2) = 4 - 2 - 2 = 0
Agora, substituindo de volta:

Passo 4

O determinante da matriz deu zero, o que significa que os vetores não são linearmente independentes. Portanto, eles não formam uma base para .

Resposta

Os vetores , e não formam uma base para porque são linearmente dependentes.

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