Seja V=R^3, verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V : W=(x, y, z) in V mid x >= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço de . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que define um subespaço e checar se satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é considerado um subespaço se ele satisfaz três condições importantes:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero de deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar quaisquer dois vetores em e somar eles, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor em por qualquer escalar (número real), o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em x = 0 >= 0 é . Vamos verificar se esse vetor está em :
Como é verdadeiro, o vetor zero está em . Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) . Suponha que e estejam em . Isso significa que e .
Agora, somamos esses vetores:
Para que esteja em , precisamos que .
Como e , a soma também será maior ou igual a zero. Portanto, está em , satisfazendo a segunda condição.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em c u = (c x, c y, c z) , digamos , onde , e um escalar .
Multiplicando o vetor pelo escalar, temos:
Para estar em , precisamos que .
Aqui é onde temos um problema. Se for positivo, então porque . Mas se for negativo, multiplicar por um número negativo resultará em , o que não satisfaz .
Isso significa que não está fechado sob multiplicação por escalar, a menos que o escalar seja sempre positivo, o que não é o caso geral.

Resposta

Como não satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço de (especificamente, não é fechado sob multiplicação por escalar), concluímos que não é um subespaço de .

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