Seja
, verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que define um subespaço e checar se
satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é considerado um subespaço se ele satisfaz três condições importantes:
- Contém o vetor zero: O vetor zero de
deve estar em . - Fechado sob adição: Se você pegar quaisquer dois vetores em
e somar eles, o resultado também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor em
por qualquer escalar (número real), o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos verificar se esse vetor está em
:
Como
é verdadeiro, o vetor zero está em
. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
. Suponha que
e
estejam em
. Isso significa que
e
.
Agora, somamos esses vetores:
Para que
esteja em
, precisamos que
.
Como
e
, a soma
também será maior ou igual a zero. Portanto,
está em
, satisfazendo a segunda condição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
, digamos
, onde
, e um escalar
.
Multiplicando o vetor pelo escalar, temos:
Para
estar em
, precisamos que
.
Aqui é onde temos um problema. Se
for positivo, então
porque
. Mas se
for negativo, multiplicar
por um número negativo resultará em
, o que não satisfaz
.
Isso significa que
não está fechado sob multiplicação por escalar, a menos que o escalar seja sempre positivo, o que não é o caso geral.
Resposta
Como
não satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço de
(especificamente, não é fechado sob multiplicação por escalar), concluímos que
não é um subespaço de
.