Se temos 12 bolas com 4 cores diferentes: 6 pretas, 4 vermelhas, 1 branca e 1 verde e as bolas de uma mesma cor são indistinguíveis, então de quantas formas podemos ordená-las em uma fila?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem 12 bolas de 4 cores diferentes: 6 pretas, 4 vermelhas, 1 branca e 1 verde. As bolas da mesma cor não têm diferença entre si. Nosso objetivo é descobrir de quantas formas a gente pode organizar essas bolas em uma fila. Para isso, vamos usar o conteúdo de permutação de objetos com repetições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa permutação com repetições. Quando temos objetos que se repetem, como essas bolas que têm cores iguais, a ordem entre elas não muda a aparência geral. Por exemplo, trocar duas bolas pretas não cria uma nova ordem distinguível das outras.

Passo 3

A fórmula para calcular o número de permutações de objetos com repetições é:
n!n1! times n2! times dots times nk!
Onde:
  • é o total de objetos.
  • são as quantidades de cada tipo de objeto que se repetem.

Passo 4

No nosso caso:
  • (total de bolas).
  • (bolas pretas).
  • (bolas vermelhas).
  • (bola branca).
  • (bola verde).

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula:
12!6! times 4! times 1! times 1!

Passo 6

Como 12!6! times 4! , podemos simplificar a expressão para:

Passo 7

Agora, vamos calcular os fatoriais:

Passo 8

Substituindo esses valores na expressão:
479001600720 times 24 = 47900160017280

Passo 9

Dividindo os números:
47900160017280 = 27720

Resposta

Portanto, existem 27.720 formas de ordenar as 12 bolas na fila considerando as cores e as repetições.

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