Se temos 12 bolas com 4 cores diferentes: 6 pretas, 4 vermelhas, 1 branca e 1 verde e as bolas de uma mesma cor são indistinguíveis, então de quantas formas podemos ordená-las em uma fila?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem 12 bolas de 4 cores diferentes: 6 pretas, 4 vermelhas, 1 branca e 1 verde. As bolas da mesma cor não têm diferença entre si. Nosso objetivo é descobrir de quantas formas a gente pode organizar essas bolas em uma fila. Para isso, vamos usar o conteúdo de permutação de objetos com repetições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa permutação com repetições. Quando temos objetos que se repetem, como essas bolas que têm cores iguais, a ordem entre elas não muda a aparência geral. Por exemplo, trocar duas bolas pretas não cria uma nova ordem distinguível das outras.
Passo 3
A fórmula para calcular o número de permutações de objetos com repetições é:
Onde:
-
é o total de objetos. -
são as quantidades de cada tipo de objeto que se repetem.
Passo 4
No nosso caso:
-
(total de bolas). -
(bolas pretas). -
(bolas vermelhas). -
(bola branca). -
(bola verde).
Passo 5
Aplicando os valores na fórmula:
Passo 6
Como
, podemos simplificar a expressão para:
Passo 7
Agora, vamos calcular os fatoriais:
Passo 8
Substituindo esses valores na expressão:
Passo 9
Dividindo os números:
Resposta
Portanto, existem 27.720 formas de ordenar as 12 bolas na fila considerando as cores e as repetições.
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Sejam
e
os seguintes subespaços de
e
É verdade que
? Em algum dos casos a soma é direta?
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de forma que qualquer forma de distribuir as bolas vai ter pelo menos uma caixa com 5 bolas ou mais?
Seja
, verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de
: