Se temos um grupo de 20 pessoas, de quantas formas podemos escolher um comitê de 8 pessoas, mais um líder para o comitê, dois secretários para auxiliarem o líder e um tesoureiro?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo de 20 pessoas e queremos formar um comitê de 8 pessoas. Além disso, dentro desse comitê, precisamos escolher um líder, dois secretários e um tesoureiro. Para resolver isso, vamos usar combinações e permutações, que são conceitos de contagem em matemática.

Passo 2

Vamos começar escolhendo as 8 pessoas que farão parte do comitê. Para isso, usamos a combinação, já que a ordem não importa nessa etapa. A fórmula da combinação é:
C(n, k) = n!k!(n-k)!
Aqui, C(20, 8) = 20!8! times 12! e . Então:

Passo 3

Depois de escolher as 8 pessoas, precisamos designar os cargos de líder, secretários e tesoureiro. Como esses cargos são diferentes, a ordem importa, então usamos a permutação. Primeiro, escolhemos o líder. Das 8 pessoas, temos 8 opções.

Passo 4

Agora, escolhemos os dois secretários. Após escolher o líder, restam 7 pessoas. Precisamos escolher 2 secretários, e a ordem entre eles não importa, então usamos combinação novamente:
C(7, 2) = 7!2! times 5! = 21

Passo 5

Por fim, escolhemos o tesoureiro. Depois de escolher o líder e os secretários, restam 5 pessoas. Temos 5 opções para o tesoureiro.

Passo 6

Agora, vamos multiplicar todas as escolhas para encontrar o número total de maneiras:
C(20, 8) times 8 times C(7, 2) times 5
Calculando cada parte:
C(20, 8) = 125970
8 times 21 times 5 = 840
125970 times 840 = 105,982,800

Resposta

Existem 105.982.800 maneiras de formar o comitê com as especificações dadas.

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