Sejam u=(2,4) e v=(-3,5). Determine:
a) O produto escalar de u por v
b) O ângulo entre u e v

Passo 1

Beleza, temos dois vetores aí: u = (2, 4) e v = (-3, 5). Vamos resolver duas coisas:
a) O produto escalar entre eles.
b) O ângulo que esses vetores formam.
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como definição de produto escalar e fórmula do ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o produto escalar. O produto escalar de dois vetores u = (u1, u2) e v = (v1, v2) é calculado assim:
u cdot v = u1 times v1 + u2 times v2
Ele nos dá uma medida de quanto os vetores estão alinhados.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar de u e v:
u cdot v = 2 times (-3) + 4 times 5 = -6 + 20 = 14

Passo 4

Agora, para encontrar o ângulo entre os vetores, usamos a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo:
u cdot v = |u| times |v| times cos(theta)
Onde |u| e |v| são os módulos dos vetores.

Passo 5

Vamos calcular os módulos dos vetores:
|u| = raiz2^2 + 4^2 = raiz4 + 16 = raiz20 approx 4,472
|v| = raiz(-3)^2 + 5^2 = raiz9 + 25 = raiz34 approx 5,831

Passo 6

Substituindo na fórmula do ângulo:
14 = 4,472 times 5,831 times cos(theta)
14 = 26,07 times cos(theta)
cos(theta) = 1426,07 approx 0,537
Agora, tiramos o arco cosseno para achar o ângulo:
theta = arccos(0,537) approx 57°

Resposta

a) O produto escalar de u por v é 14.
b) O ângulo entre u e v é aproximadamente 57 graus.

Exercícios relacionados

Seja V=R^3, verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V : W=(x, y, z) in V mid x >= 0
Se eu tenho 10 caixas e N bolas para distribuir entre essas 10 caixas. Qual o menor valor de N de forma que qualquer forma de distribuir as bolas vai ter pelo menos uma caixa com 5 bolas ou mais?
Se temos um grupo de 20 pessoas, de quantas formas podemos escolher um comitê de 8 pessoas, mais um líder para o comitê, dois secretários para auxiliarem o líder e um tesoureiro?
Verifique que W é um subespaço de V. Em cada caso, suponha que V tenha as operações usuais. V=M2 times 2 e W é o conjunto de todas as matrizes de ordem 2 da forma [ll0 & a b & 0]