Se eu tenho 10 caixas e N bolas para distribuir entre essas 10 caixas. Qual o menor valor de N de forma que qualquer forma de distribuir as bolas vai ter pelo menos uma caixa com 5 bolas ou mais?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem 10 caixas e quer distribuir um certo número de bolas entre elas. A pergunta é: qual é o menor número de bolas, , que você precisa para garantir que, independente de como você distribuir essas bolas nas caixas, pelo menos uma caixa vai ter 5 bolas ou mais? Vamos usar o Princípio da Casa dos Pombos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o Princípio da Casa dos Pombos diz. Basicamente, ele afirma que se você tem mais “pombos” (no caso, bolas) do que “casas” (as caixas), pelo menos uma casa vai ter mais de um pombo. Aplicando isso ao nosso problema, queremos garantir que pelo menos uma caixa tenha 5 bolas.

Passo 3

Para garantir que nenhuma caixa tenha 5 bolas, o máximo que cada caixa pode ter é 4 bolas. Como temos 10 caixas, o máximo total de bolas que podemos distribuir sem que nenhuma caixa tenha 5 é:
10 caixas times 4 bolas por caixa = 40 bolas
Então, se tivermos 40 bolas, é possível distribuir todas sem que nenhuma caixa tenha 5 bolas.

Passo 4

Mas queremos o menor número de bolas que garante que pelo menos uma caixa terá 5 bolas. Para isso, basta adicionar mais uma bola ao total máximo que não satisfaz a condição:
40 bolas + 1 bola = 41 bolas
Assim, com 41 bolas, é impossível distribuir sem que pelo menos uma caixa tenha 5 bolas.

Resposta

O menor valor de é 41 bolas.

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