Sejam e espaços vetoriais de dimensão finita sobre o corpo . Sejam e bases de e respectivamente. Defina : como
Mostre que o conjunto é uma base de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois espaços vetoriais e com dimensões finitas sobre um corpo . Temos as bases de e de . Definimos transformações lineares de para que mapeiam cada vetor da base de para 0, exceto quando o índice coincide com , nesse caso mapeia para . A nossa missão é mostrar que o conjunto formado por todas essas transformações é uma base para o espaço de todas as transformações lineares de para , denotado por .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma base para . Uma base é um conjunto de transformações lineares que são linearmente independentes e geram todo o espaço . Além disso, a dimensão de é , já que cada transformação pode ser representada por uma matriz de linhas e colunas.
Passo 3
Agora, vamos verificar o tamanho do conjunto . Cada é identificado por dois índices: variando de 1 a e variando de 1 a . Portanto, temos transformações no conjunto , o que já bate com a dimensão de .
Passo 4
Vamos mostrar que as transformações em são linearmente independentes. Suponha que exista uma combinação linear dessas transformações que dê a transformação nula:
Para provar a independência, precisamos mostrar que todos os coeficientes são zero. Aplicando essa combinação linear a cada vetor da base , notamos que cada mapeia somente para e os outros vetores para zero. Isso implica que cada precisa ser zero para que a combinação seja nula, provando a independência linear.
Passo 5
Finalmente, vamos verificar que gera todo o espaço . Qualquer transformação linear em pode ser expressa como uma combinação linear das . Isso porque pode ser representada por uma matriz onde cada entrada multiplica na combinação. Assim, qualquer transformação pode ser escrita como:
Isso mostra que gera .
Resposta
Portanto, o conjunto é realmente uma base de , já que é linearmente independente, gera todo o espaço e possui exatamente elementos, correspondendo à dimensão de .