Sejam
e
espaços vetoriais de dimensão finita sobre o corpo
. Sejam
e
bases de
e
respectivamente. Defina
:
como
Mostre que o conjunto
é uma base de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois espaços vetoriais
e
com dimensões finitas sobre um corpo
. Temos as bases
de
e
de
. Definimos transformações lineares
de
para
que mapeiam cada vetor da base de
para 0, exceto quando o índice coincide com
, nesse caso mapeia para
. A nossa missão é mostrar que o conjunto
formado por todas essas transformações
é uma base para o espaço de todas as transformações lineares de
para
, denotado por
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma base para
. Uma base é um conjunto de transformações lineares que são linearmente independentes e geram todo o espaço
. Além disso, a dimensão de
é
, já que cada transformação pode ser representada por uma matriz de
linhas e
colunas.
Passo 3
Agora, vamos verificar o tamanho do conjunto
. Cada
é identificado por dois índices:
variando de 1 a
e
variando de 1 a
. Portanto, temos
transformações no conjunto
, o que já bate com a dimensão de
.
Passo 4
Vamos mostrar que as transformações em
são linearmente independentes. Suponha que exista uma combinação linear dessas transformações que dê a transformação nula:
Para provar a independência, precisamos mostrar que todos os coeficientes
são zero. Aplicando essa combinação linear a cada vetor da base
, notamos que cada
mapeia somente
para
e os outros vetores para zero. Isso implica que cada
precisa ser zero para que a combinação seja nula, provando a independência linear.
Passo 5
Finalmente, vamos verificar que
gera todo o espaço
. Qualquer transformação linear
em
pode ser expressa como uma combinação linear das
. Isso porque
pode ser representada por uma matriz onde cada entrada
multiplica
na combinação. Assim, qualquer transformação pode ser escrita como:
Isso mostra que
gera
.
Resposta
Portanto, o conjunto
é realmente uma base de
, já que é linearmente independente, gera todo o espaço e possui exatamente
elementos, correspondendo à dimensão de
.