Seja X uma variável aleatória, tal que X ~ N(100, 25). Determine k tal que:
e. P(100-k < X < 100+k) = 0,99

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória X que segue uma distribuição normal com média e variância , ou seja, X ~ N(100, 25). O que precisamos fazer aqui é encontrar o valor de k tal que a probabilidade de X estar entre e seja de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e da tabela z.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na distribuição normal, os valores estão distribuídos simetricamente em torno da média. O desvio padrão ( sigma) é a raiz quadrada da variância. Então, aqui temos .

Passo 3

Para encontrar o intervalo que contém dos valores, precisamos encontrar o valor crítico de z que corresponde a essa probabilidade central. Isso significa que queremos encontrar z tal que , onde Z é uma variável aleatória padrão normal ( ).

Passo 4

Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que o valor de z que corresponde a um intervalo de é aproximadamente . Isso significa que dos valores da distribuição normal padrão estão entre e .

Passo 5

Agora, queremos relacionar esse valor de z com a nossa variável X. Sabemos que k é a distância da média que queremos encontrar, e que . Já que , então:

Resposta

Portanto, o valor de k é aproximadamente .

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