Seja uma variável aleatória, tal que . Determine tal que:
d.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média e variância , ou seja, . Nosso objetivo é encontrar o valor de tal que a probabilidade de estar entre e seja . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a distribuição normal e como usar a tabela da distribuição normal padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma variável aleatória que segue pode ser padronizada para a distribuição normal padrão usando a fórmula:
Onde:
  • é a média,
  • é o desvio padrão (a raiz quadrada da variância).
No nosso caso, e .

Passo 3

Queremos encontrar tal que . Primeiro, vamos expressar essa probabilidade em termos de :
Sabemos que porque a distribuição normal é simétrica em relação à média. Portanto:

Passo 4

Isso significa que a probabilidade de estar entre e é . Como é menor que , estamos procurando a área à esquerda de que é igual a .
Para encontrar esse valor, podemos olhar na tabela da distribuição normal padrão qual valor de corresponde a uma área de à esquerda de .

Passo 5

Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos que o valor de que deixa de área à sua esquerda é aproximadamente .
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar :

Resposta

O valor de é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Seja uma variável aleatória, tal que . Determine:
f.
Seja v.a. representando o número de usuários de um microcomputador no período de um mês. A distribuição de probabilidade de é dada abaixo:
2 3 4 5 6 Total
0.1 0.3 0.3 0.2 0.1 1.0
c. Encontre e , sendo .
A vida de um semicondutor a laser, a uma potência constante, segue um modelo normal com média de 7000 horas e desvio padrão de 600 horas.
a. Qual a probabilidade do laser falhar antes de completar 8000 horas?
Um fabricante de máquinas de lavar, sabendo que o tempo de vida de suas máquinas tem distribuição normal com média 2510 dias e desvio padrão 400 dias, oferece garantia de 3.5 anos.
c. Se o fabricante acha que é suficiente que das máquinas durem até a expiração da garantia, qual deveria ser o tempo de garantia?