Seja X uma variável aleatória, tal que X ~ N(100, 25). Determine k tal que:
d. P(k<X<100)=0,05

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média e variância , ou seja, . Nosso objetivo é encontrar o valor de tal que a probabilidade de estar entre e seja . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a distribuição normal e como usar a tabela da distribuição normal padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma variável aleatória que segue pode ser padronizada para a distribuição normal padrão usando a fórmula:
Onde:
  • é a média,
  • é o desvio padrão (a raiz quadrada da variância).
No nosso caso, e .

Passo 3

Queremos encontrar tal que . Primeiro, vamos expressar essa probabilidade em termos de :
Sabemos que porque a distribuição normal é simétrica em relação à média. Portanto:

Passo 4

Isso significa que a probabilidade de estar entre e é . Como é menor que , estamos procurando a área à esquerda de que é igual a .
Para encontrar esse valor, podemos olhar na tabela da distribuição normal padrão qual valor de corresponde a uma área de à esquerda de .

Passo 5

Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos que o valor de que deixa de área à sua esquerda é aproximadamente .
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar :

Resposta

O valor de é aproximadamente .

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