Seja o vetor V=2 imath-3 jmath+4 k. Determine:
f) o ângulo formado entre V e W=imath-jmath+k

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de vetores! A gente tem dois vetores:
V = 2 imath - 3 jmath + 4 k
W = imath - jmath + k
O que a gente precisa descobrir é o ângulo que esses dois vetores formam entre si. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar e normas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar de V cdot W = VxWx + VyWy + VzWz e V cdot W = (2)(1) + (-3)(-1) + (4)(1) = 2 + 3 + 4 = 9 é dado por:
Vamos calcular isso:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a norma (ou módulo) de cada vetor. A norma de um vetor |A| = raizax^2 + ay^2 + az^2 é:
|V| = raiz2^2 + (-3)^2 + 4^2 = raiz4 + 9 + 16 = raiz29
Vamos calcular |W| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 :
E agora :

Passo 4

Com o produto escalar e as normas dos vetores em mãos, podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo cos(theta) = V cdot W|V| |W| entre eles:
cos(theta) = 9raiz29 times raiz3 = 9raiz87
Vamos substituir os valores que calculamos:

Passo 5

Para encontrar o ângulo theta = cos^-1(9raiz87) , vamos aplicar a função arco cosseno (cos⁻¹) no resultado anterior:
theta approx cos^-1(99.327) approx cos^-1(0.966) approx 15^circ
Calculando isso com uma calculadora:

Resposta

O ângulo formado entre os vetores e é aproximadamente .

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