Seja o subespaço de gerado pelos vetores .
Estenda a base de a uma base do espaço ;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um subespaço de que é gerado por três vetores: , e . O nosso objetivo aqui é estender uma base de para formar uma base completa de . Para isso, vamos precisar entender conceitos de bases, espaço vetorial e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se os três vetores que geram são linearmente independentes. Se forem, eles já formam uma base de . Para isso, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e ver o posto dela.
Vamos montar a matriz :
Passo 3
Agora, vamos fazer a redução dessa matriz para escalonamento e ver quantas colunas diferentes temos (o posto da matriz). Se o posto for 3, os vetores são independentes.
Primeiro, vamos deixar o primeiro elemento da primeira coluna como 1 (o que já está feito). Em seguida, vamos zerar os elementos abaixo desse 1.
Multiplicando a primeira linha por 2 e somando com a segunda linha:
Multiplicando a primeira linha por -5 e somando com a terceira linha:
Multiplicando a primeira linha por 3 e somando com a quarta linha:
Vamos simplificar a matriz:
Passo 4
Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Queremos deixar o segundo elemento como 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por -1:
Agora, usamos a segunda linha para zerar os elementos acima e abaixo dela na segunda coluna.
Para a terceira linha:
Para a quarta linha:
A matriz agora fica:
Passo 5
Observamos que a terceira e a quarta linhas têm valores proporcionais, o que indica dependência linear. Portanto, o posto da matriz é 3, o que significa que os três vetores são linearmente independentes e formam uma base de .
Passo 6
Agora que temos uma base para com três vetores, precisamos encontrar um quarto vetor que não esteja em para estender essa base a . Uma maneira de fazer isso é escolher um vetor que não possa ser escrito como combinação linear dos três vetores de .
Vamos tentar adicionar o vetor .
Passo 7
Para verificar se está em , precisamos ver se existe uma combinação linear dos vetores de que resulte em . Ou seja, se existem escalares tais que:
Resolvendo esse sistema, podemos ver que não há solução, o que significa que não está em .
Passo 8
Como não está em , podemos adicioná-lo à base de para formar uma base de . Assim, a base completa será: