Seja W o subespaço de R^4 gerado pelos vetores (1,-2,5,-3),(2,3,1,-4),(3,8,-3,-5).
Estenda a base de W a uma base do espaço R^4;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um subespaço de que é gerado por três vetores: , e . O nosso objetivo aqui é estender uma base de para formar uma base completa de . Para isso, vamos precisar entender conceitos de bases, espaço vetorial e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se os três vetores que geram A = 1 & 2 & 3 -2 & 3 & 8 5 & 1 & -3 -3 & -4 & -5 são linearmente independentes. Se forem, eles já formam uma base de . Para isso, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e ver o posto dela.
Vamos montar a matriz :

Passo 3

Agora, vamos fazer a redução dessa matriz para escalonamento e ver quantas colunas diferentes temos (o posto da matriz). Se o posto for 3, os vetores são independentes.
Primeiro, vamos deixar o primeiro elemento da primeira coluna como 1 (o que já está feito). Em seguida, vamos zerar os elementos abaixo desse 1.
Multiplicando a primeira linha por 2 e somando com a segunda linha:
R2 = R2 + 2R1 Rightarrow (-2 + 2*1, 3 + 2*(-2), 8 + 2*5, -4 + 2*(-3)) = (0, -1, 18, -10)
Multiplicando a primeira linha por -5 e somando com a terceira linha:
R3 = R3 + (-5)R1 Rightarrow (5 + (-5)*1, 1 + (-5)*(-2), -3 + (-5)*5, -5 + (-5)*(-3)) = (0, 11, -28, 10)
Multiplicando a primeira linha por 3 e somando com a quarta linha:
R4 = R4 + 3R1 Rightarrow (-3 + 3*1, -4 + 3*(-2), -5 + 3*5, dots) = (0, -10, 10, dots)
Vamos simplificar a matriz:
A = 1 & 2 & 3 0 & -1 & 18 0 & 11 & -28 0 & -10 & 10

Passo 4

Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Queremos deixar o segundo elemento como 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por -1:
R2 = -1 cdot R2 Rightarrow (0, 1, -18)
Agora, usamos a segunda linha para zerar os elementos acima e abaixo dela na segunda coluna.
Para a terceira linha:
R3 = R3 - 11R2 Rightarrow (0, 11 - 11*1, -28 - 11*(-18)) = (0, 0, 170)
Para a quarta linha:
R4 = R4 + 10R2 Rightarrow (0, -10 + 10*1, 10 + 10*(-18)) = (0, 0, -170)
A matriz agora fica:
A = 1 & 2 & 3 0 & 1 & -18 0 & 0 & 170 0 & 0 & -170

Passo 5

Observamos que a terceira e a quarta linhas têm valores proporcionais, o que indica dependência linear. Portanto, o posto da matriz é 3, o que significa que os três vetores são linearmente independentes e formam uma base de .

Passo 6

Agora que temos uma base para com três vetores, precisamos encontrar um quarto vetor que não esteja em para estender essa base a . Uma maneira de fazer isso é escolher um vetor que não possa ser escrito como combinação linear dos três vetores de .
Vamos tentar adicionar o vetor .

Passo 7

Para verificar se a(1, -2, 5, -3) + b(2, 3, 1, -4) + c(3, 8, -3, -5) = (0, 0, 0, 1) está em , precisamos ver se existe uma combinação linear dos vetores de que resulte em . Ou seja, se existem escalares tais que:
Resolvendo esse sistema, podemos ver que não há solução, o que significa que não está em .

Passo 8

Como (1, -2, 5, -3), (2, 3, 1, -4), (3, 8, -3, -5), (0, 0, 0, 1) não está em , podemos adicioná-lo à base de para formar uma base de . Assim, a base completa será:

Resposta

A base de , (1, -2, 5, -3), (2, 3, 1, -4), (3, 8, -3, -5), (0, 0, 0, 1), estendida é:

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