Seja
ou
. Mostre que
não é um subespaço vetorial do
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos pede para mostrar que o conjunto
não é um subespaço vetorial de
.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente a definição de subespaço vetorial.
O que vamos precisar: Saber quais são os critérios para um conjunto ser um subespaço vetorial e aplicar esses critérios ao conjunto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os critérios que um conjunto precisa cumprir para ser considerado um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço de
se:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação escalar: Se
está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada um desses critérios para
.
Passo 3
Verificando se
contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Para ver se ele está em
, precisamos encontrar um valor de
tal que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação, temos
. Substituindo na segunda:
Portanto, o vetor zero não está em
.
Passo 4
Como já descobrimos que o vetor zero não está em
, isso já é suficiente para concluir que
não é um subespaço vetorial de
. Mesmo que os outros critérios fossem satisfeitos, a ausência do vetor zero já desqualifica
como subespaço.
Resposta
Portanto, o conjunto
não é um subespaço vetorial de
porque não contém o vetor zero.