Seja ou . Mostre que não é um subespaço vetorial do .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos pede para mostrar que o conjunto não é um subespaço vetorial de .
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente a definição de subespaço vetorial.
O que vamos precisar: Saber quais são os critérios para um conjunto ser um subespaço vetorial e aplicar esses critérios ao conjunto .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os critérios que um conjunto precisa cumprir para ser considerado um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se:
Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
Fechado sob multiplicação escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada um desses critérios para .
Passo 3
Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Para ver se ele está em , precisamos encontrar um valor de tal que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação, temos . Substituindo na segunda:
Portanto, o vetor zero não está em .
Passo 4
Como já descobrimos que o vetor zero não está em , isso já é suficiente para concluir que não é um subespaço vetorial de . Mesmo que os outros critérios fossem satisfeitos, a ausência do vetor zero já desqualifica como subespaço.
Resposta
Portanto, o conjunto não é um subespaço vetorial de porque não contém o vetor zero.