Seja W=(x, 4-2 x) ; x in R ou W=(x, y) in R^2 / y=4-2 x. Mostre que W não é um subespaço vetorial do R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos pede para mostrar que o conjunto não é um subespaço vetorial de .
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente a definição de subespaço vetorial.
O que vamos precisar: Saber quais são os critérios para um conjunto ser um subespaço vetorial e aplicar esses critérios ao conjunto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são os critérios que um conjunto precisa cumprir para ser considerado um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada um desses critérios para .

Passo 3

Verificando se (0, 0) = (x, 4 - 2x) contém o vetor zero:
O vetor zero em x = 0 4 - 2x = 0 é 4 - 2(0) = 4 neq 0 . Para ver se ele está em , precisamos encontrar um valor de tal que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação, temos . Substituindo na segunda:
Portanto, o vetor zero não está em .

Passo 4

Como já descobrimos que o vetor zero não está em , isso já é suficiente para concluir que não é um subespaço vetorial de . Mesmo que os outros critérios fossem satisfeitos, a ausência do vetor zero já desqualifica como subespaço.

Resposta

Portanto, o conjunto não é um subespaço vetorial de porque não contém o vetor zero.

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