Sejam V=R^2 e S=(x, y) in R^2 / y=2 x ou S=(x, 2 x) ; x in R, isto é, S é conjunto dos vetores do plano que têm a segunda componente igual ao dobro da primeira. Mostre que S é um subespaço vetorial do R^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial de . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar três coisas básicas que definem um subespaço vetorial:
  1. O vetor zero está em .
  2. é fechado sob adição vetorial.
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em (0, 2 times 0) = (0, 0) . O vetor zero em é .
Para verificar isso, substituímos na definição de :
Então, o vetor zero pertence a . Isso é importante porque um subespaço vetorial sempre precisa conter o vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos ver se u + v = (x1 + x2, 2x1 + 2x2) = (x1 + x2, 2(x1 + x2)) é fechado sob adição vetorial. Isso quer dizer que, se a gente pegar dois vetores qualquer de , a soma deles também deve estar em .
Vamos pegar dois vetores e que estão em .
A soma desses vetores é:
Note que a segunda componente é o dobro da primeira, ou seja, . Portanto, também pertence a .

Passo 4

Por fim, vamos verificar se c cdot u = (c x, c cdot 2x) = (c x, 2(c x)) é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se a gente multiplicar um vetor de por qualquer número real , o resultado também deve estar em .
Vamos pegar um vetor em e um escalar .
Multiplicando por , temos:
Novamente, a segunda componente é o dobro da primeira, ou seja, . Portanto, também pertence a .

Resposta

Como verificamos que o vetor zero está em , que é fechado sob adição vetorial e que também é fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é, de fato, um subespaço vetorial de .

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