Sejam
e
ou
, isto é,
é conjunto dos vetores do plano que têm a segunda componente igual ao dobro da primeira. Mostre que
é um subespaço vetorial do
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar três coisas básicas que definem um subespaço vetorial:
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob adição vetorial. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
.
Para verificar isso, substituímos
na definição de
:
Então, o vetor zero pertence a
. Isso é importante porque um subespaço vetorial sempre precisa conter o vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição vetorial. Isso quer dizer que, se a gente pegar dois vetores qualquer de
, a soma deles também deve estar em
.
Vamos pegar dois vetores
e
que estão em
.
A soma desses vetores é:
Note que a segunda componente é o dobro da primeira, ou seja,
. Portanto,
também pertence a
.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se a gente multiplicar um vetor de
por qualquer número real
, o resultado também deve estar em
.
Vamos pegar um vetor
em
e um escalar
.
Multiplicando
por
, temos:
Novamente, a segunda componente é o dobro da primeira, ou seja,
. Portanto,
também pertence a
.
Resposta
Como verificamos que o vetor zero está em
, que
é fechado sob adição vetorial e que também é fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
é, de fato, um subespaço vetorial de
.
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e
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de forma que este triângulo seja retângulo em
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с
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a
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Seja
ou
. Mostre que
não é um subespaço vetorial do
.
Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços de
.