(Valor 2,5) Sejam A=(2,1,3), B=(x, 3,5) e C=(0,4,1) vértices de um triângulo. Calcule x in R de forma que este triângulo seja retângulo em A e encontre sua área (usando vetores).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um triângulo com vértices nos pontos , e . O objetivo é encontrar o valor de para que esse triângulo seja retângulo em e, depois, calcular a área desse triângulo usando vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa o triângulo ser retângulo em . Isso quer dizer que o ângulo no ponto é de 90 graus. Em termos de vetores, isso implica que os vetores que formam os lados do triângulo a partir de são perpendiculares entre si.

Passo 3

Vamos definir os vetores AB = B - A = (x-2, 3-1, 5-3) = (x-2, 2, 2) e AC = C - A = (0-2, 4-1, 1-3) = (-2, 3, -2) :

Passo 4

Para que u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 e (x-2)(-2) + (2)(3) + (2)(-2) = 0 sejam perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser zero. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Então, vamos calcular o produto escalar de e :

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação:
-2(x - 2) + 6 - 4 = 0
Distribuindo o -2x + 4 + 6 - 4 = 0 :
-2x + 6 = 0
Simplificando:
-2x = -6 implies x = 3
Isolando :

Passo 6

Encontramos que Área = 12 |u times v| para que o triângulo seja retângulo em .
Agora, vamos calcular a área do triângulo usando vetores. A área de um triângulo formado por dois vetores e é dada por:
Á
Onde é o produto vetorial dos vetores.

Passo 7

Primeiro, vamos recalcular os vetores com AB = (3-2, 2, 2) = (1, 2, 2) :
AC = (-2, 3, -2)
AB times AC = i & j & k 1 & 2 & 2 -2 & 3 & -2
Agora, vamos calcular o produto vetorial i(2 cdot (-2) - 2 cdot 3) - j(1 cdot (-2) - 2 cdot (-2)) + k(1 cdot 3 - 2 cdot (-2)) :
= i(-4 - 6) - j(-2 + 4) + k(3 + 4)
Calculando o determinante:
= i(-10) - j(2) + k(7)
AB times AC = (-10, -2, 7)
Então,

Passo 8

Agora, vamos calcular a norma desse vetor para encontrar o módulo do produto vetorial:
|AB times AC| = raiz(-10)^2 + (-2)^2 + 7^2 = raiz100 + 4 + 49 = raiz153
Portanto, a área do triângulo é:
Área = 12 raiz153 = raiz1532 Á

Resposta

O valor de é 3 e a área do triângulo é unidades de área.

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