(Valor 2,5) Sejam e vértices de um triângulo. Calcule de forma que este triângulo seja retângulo em e encontre sua área (usando vetores).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um triângulo com vértices nos pontos , e . O objetivo é encontrar o valor de para que esse triângulo seja retângulo em e, depois, calcular a área desse triângulo usando vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa o triângulo ser retângulo em . Isso quer dizer que o ângulo no ponto é de 90 graus. Em termos de vetores, isso implica que os vetores que formam os lados do triângulo a partir de são perpendiculares entre si.

Passo 3

Vamos definir os vetores e :

Passo 4

Para que e sejam perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser zero. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Então, vamos calcular o produto escalar de e :

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação:
Distribuindo o :
Simplificando:
Isolando :

Passo 6

Encontramos que para que o triângulo seja retângulo em .
Agora, vamos calcular a área do triângulo usando vetores. A área de um triângulo formado por dois vetores e é dada por:
Á
Onde é o produto vetorial dos vetores.

Passo 7

Primeiro, vamos recalcular os vetores com :
Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Então,

Passo 8

Agora, vamos calcular a norma desse vetor para encontrar o módulo do produto vetorial:
Portanto, a área do triângulo é:
Á

Resposta

O valor de é 3 e a área do triângulo é unidades de área.

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