Seja . Prove que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que provar que, dado pertencente a e pertencentes a (números racionais), a expressão também pertence a . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal em um anel e quais propriedades ele possui.

Passo 2

Um ideal em um anel é um subconjunto que satisfaz duas propriedades principais:
  1. Fechado sob adição: Se , então .
  2. Fechado sob multiplicação por elementos do anel: Se e é qualquer elemento do anel, então .
Essas propriedades nos ajudam a manipular elementos dentro do ideal .

Passo 3

Vamos analisar a expressão . Como e são números racionais, podemos considerar para evitar divisão por zero. Podemos reescrever a expressão da seguinte forma:
Aqui, é um número racional, já que e . Além disso, .

Passo 4

Sabemos que e que é um ideal. Pela propriedade de fechamento sob multiplicação por elementos do anel, multiplicar por (que pertence ao anel se estamos trabalhando, por exemplo, no anel dos números racionais) resulta em:
Portanto, .

Passo 5

Agora, consideramos . Como e são racionais, também é racional. Se é um ideal, ele deve conter o elemento neutro para a adição (zero) e ser fechado sob adição. Porém, para garantir que esteja em , precisamos que . Caso contrário, não necessariamente pertence a .

Passo 6

Assumindo que , a expressão original simplifica para:
E como já mostramos, .

Resposta

Portanto, se , então . Caso contrário, sem informações adicionais sobre , não podemos garantir que pertença a .

Exercícios relacionados

Grafique o conjunto solução da equação .
Construa o gráfico da função definida pela lei , sendo
Sejam os pontos e .
Determine de tal forma que e D forme um triangulo isosceles. lada iquais
Calcular los siguientes límites.