Seja
. Prove que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que provar que, dado
pertencente a
e
pertencentes a
(números racionais), a expressão
também pertence a
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal
em um anel e quais propriedades ele possui.
Passo 2
Um ideal
em um anel é um subconjunto que satisfaz duas propriedades principais:
- Fechado sob adição: Se
, então . - Fechado sob multiplicação por elementos do anel: Se
e é qualquer elemento do anel, então .
Essas propriedades nos ajudam a manipular elementos dentro do ideal
.
Passo 3
Vamos analisar a expressão
. Como
e
são números racionais, podemos considerar
para evitar divisão por zero. Podemos reescrever a expressão da seguinte forma:
Aqui,
é um número racional, já que
e
. Além disso,
.
Passo 4
Sabemos que
e que
é um ideal. Pela propriedade de fechamento sob multiplicação por elementos do anel, multiplicar
por
(que pertence ao anel se estamos trabalhando, por exemplo, no anel dos números racionais) resulta em:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, consideramos
. Como
e
são racionais,
também é racional. Se
é um ideal, ele deve conter o elemento neutro para a adição (zero) e ser fechado sob adição. Porém, para garantir que
esteja em
, precisamos que
. Caso contrário,
não necessariamente pertence a
.
Passo 6
Assumindo que
, a expressão original simplifica para:
E como já mostramos,
.
Resposta
Portanto, se
, então
. Caso contrário, sem informações adicionais sobre
, não podemos garantir que
pertença a
.
Exercícios relacionados
Grafique o conjunto solução da equação
.
Construa o gráfico da função definida pela lei
, sendo
Sejam os pontos
e
.
Determine de tal forma que
e D forme um triangulo isosceles.
lada iquais
Determine
Calcular los siguientes límites.