Sejam a e r dois números reais. A sequência a1 = a, a2 = a + r, a3 = a + 2 r, ..., an = a + (n - 1) r, ... é denominada progressão aritmética de razão r. Prove que a soma dos n primeiros termos dessa progressão aritmética é:
S_n = (a_1 + a_n) n / 2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos dizendo. Temos uma sequência chamada progressão aritmética (PA), onde cada termo após o primeiro é obtido adicionando uma constante chamada razão ( r) ao termo anterior. O enunciado pede para provar que a soma dos primeiros n termos dessa sequência é dada por:
Para resolver isso, precisaremos conhecer a definição de progressão aritmética e como calcular a soma dos seus termos.

Passo 2

Vamos começar escrevendo os primeiros termos da progressão aritmética para visualizarmos melhor:
Aqui, a é o primeiro termo e r é a razão da PA.

Passo 3

A soma dos n primeiros termos da PA, Sn, pode ser expressa somando todos os termos:
Substituindo os valores dos termos:

Passo 4

Para facilitar a soma, vamos escrever Sn duas vezes: uma na ordem direta e outra na ordem inversa:

Passo 5

Agora, somamos essas duas expressões termo a termo:
Cada par dentro dos colchetes resulta em:
Como temos n pares iguais, a soma fica:

Passo 6

Dividindo ambos os lados por 2 para isolar Sn:

Passo 7

Observamos que o primeiro termo é e o último termo é . Assim, podemos reescrever a expressão:
Substituindo na fórmula da soma:

Resposta

Portanto, a soma dos n primeiros termos da progressão aritmética é:

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