Sejam
e
dois números reais. A sequência
é denominada progressão aritmética de razão r. Prove que a soma dos
primeiros termos dessa progressão aritmética é:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos dizendo. Temos uma sequência chamada progressão aritmética (PA), onde cada termo após o primeiro é obtido adicionando uma constante chamada razão (
) ao termo anterior. O enunciado pede para provar que a soma dos primeiros
termos dessa sequência é dada por:
Para resolver isso, precisaremos conhecer a definição de progressão aritmética e como calcular a soma dos seus termos.
Passo 2
Vamos começar escrevendo os primeiros termos da progressão aritmética para visualizarmos melhor:
Aqui,
é o primeiro termo e
é a razão da PA.
Passo 3
A soma dos
primeiros termos da PA,
, pode ser expressa somando todos os termos:
Substituindo os valores dos termos:
Passo 4
Para facilitar a soma, vamos escrever
duas vezes: uma na ordem direta e outra na ordem inversa:
Passo 5
Agora, somamos essas duas expressões termo a termo:
Cada par dentro dos colchetes resulta em:
Como temos
pares iguais, a soma fica:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por 2 para isolar
:
Passo 7
Observamos que o primeiro termo é
e o último termo é
. Assim, podemos reescrever a expressão:
Substituindo na fórmula da soma:
Resposta
Portanto, a soma dos
primeiros termos da progressão aritmética é: