Seja a equação de um plano que não passa pela origem e corta os três eixos.
Determine a equação do plano que passa pelos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem que encontrar a equação de um plano que passa pelos três pontos A=(1,0,0), B=(0,2,0) e C=(0,0,3). O conteúdo envolvido aqui é a geometria analítica, mais especificamente a determinação da equação de um plano no espaço 3D. Para resolver, vamos precisar usar vetores e o produto vetorial para achar o vetor normal ao plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano. Podemos usar os pontos dados para isso. Vamos criar o vetor AB e o vetor AC.
Vetor AB: Subtraímos as coordenadas de A das de B.
Vetor AC: Subtraímos as coordenadas de A das de C.
Passo 3
Agora, para achar o vetor normal ao plano, a gente faz o produto vetorial entre e . O vetor normal, , é perpendicular a ambos os vetores, ou seja, perpendicular ao plano.
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 4
Com o vetor normal conhecido, podemos usar a equação geral do plano, que é:
a x + b y + c z + d = 0
Onde 6x + 3y + 2z + d = 0 são as componentes do vetor normal. Substituindo, temos:
6(1) + 3(0) + 2(0) + d = 0 6 + 0 + 0 + d = 0 d = -6
Agora, precisamos encontrar o valor de . Para isso, podemos usar qualquer um dos pontos que estão no plano. Vamos usar o ponto A=(1,0,0).
Substituindo na equação:
Resposta
A equação do plano que passa pelos pontos A, B e C é: