Seja a x+b y+c z+d=0 a equação de um plano pi que não passa pela origem e corta os três eixos.
Determine a equação do plano que passa pelos pontos A=(1,0,0), B=(0,2,0) e C=(0,0,3).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem que encontrar a equação de um plano que passa pelos três pontos A=(1,0,0), B=(0,2,0) e C=(0,0,3). O conteúdo envolvido aqui é a geometria analítica, mais especificamente a determinação da equação de um plano no espaço 3D. Para resolver, vamos precisar usar vetores e o produto vetorial para achar o vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano. Podemos usar os pontos dados para isso. Vamos criar o vetor AB e o vetor AC.
  • Vetor AB: Subtraímos as coordenadas de A das de B. AB = B - A = (0-1, 2-0, 0-0) = (-1, 2, 0)
  • Vetor AC: Subtraímos as coordenadas de A das de C. AC = C - A = (0-1, 0-0, 3-0) = (-1, 0, 3)

Passo 3

Agora, para achar o vetor normal ao plano, a gente faz o produto vetorial entre n = AB times AC = i & j & k -1 & 2 & 0 -1 & 0 & 3 e n = i(2 cdot 3 - 0 cdot 0) - j(-1 cdot 3 - 0 cdot -1) + k(-1 cdot 0 - 2 cdot -1) = (6)i - (-3)j + (2)k = (6, 3, 2) . O vetor normal, , é perpendicular a ambos os vetores, ou seja, perpendicular ao plano.
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

Com o vetor normal conhecido, podemos usar a equação geral do plano, que é:
a x + b y + c z + d = 0
Onde 6x + 3y + 2z + d = 0 são as componentes do vetor normal. Substituindo, temos:
6(1) + 3(0) + 2(0) + d = 0 6 + 0 + 0 + d = 0 d = -6
Agora, precisamos encontrar o valor de . Para isso, podemos usar qualquer um dos pontos que estão no plano. Vamos usar o ponto A=(1,0,0).
Substituindo na equação:

Resposta

A equação do plano que passa pelos pontos A, B e C é:
6x + 3y + 2z - 6 = 0

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