Sejam beta1=(1,0),(0,2), beta2=(-1,0),(1,1) beta3=(-1,1),(0,-1), três bases ordenadas do R^2. Ache:
a) [I]beta1^beta2
b) [I]beta2^beta3
c) [I]beta1^beta3
d) [I]beta1^beta2 cdot[I]beta2^beta3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. Temos três bases ordenadas do R^2:
  • beta1 = (1,0), (0,2)
  • beta2 = (-1,0), (1,1)
  • beta3 = (-1,1), (0,-1)
O que o exercício quer é que a gente encontre as matrizes de mudança de base para a transformação identidade entre essas bases. Isso faz parte do conteúdo de Mudança de Base em Álgebra Linear. Vamos precisar lembrar como construir a matriz de mudança de base de uma base para outra.

Passo 2

Para encontrar a matriz de mudança de base [I]beta1^beta2, precisamos expressar cada vetor da base beta1 na base beta2. Isso significa que vamos escrever cada vetor de beta1 como uma combinação linear dos vetores de beta2.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro vetor de beta1, que é (1,0). Queremos encontrar escalares a e b tais que:
(1,0) = a cdot (-1,0) + b cdot (1,1)
Isso nos dá o sistema de equações:
- a + b = 1 0a + b = 0
Resolvendo, da segunda equação temos b = 0. Substituindo na primeira, -a = 1, então a = -1.

Passo 4

Agora, vamos para o segundo vetor de beta1, que é (0,2). Queremos encontrar escalares c e d tais que:
(0,2) = c cdot (-1,0) + d cdot (1,1)
Isso nos dá o sistema de equações:
- c + d = 0 0c + d = 2
Da segunda equação, d = 2. Substituindo na primeira, -c + 2 = 0, então c = 2.

Passo 5

Agora que encontramos as coordenadas de cada vetor de beta1 na base beta2, podemos montar a matriz de mudança de base [I]beta1^beta2. Essa matriz tem como colunas as coordenadas que encontramos:
[I]beta1^beta2 = -1 & 2 0 & 2

Resposta

a) A matriz de mudança de base [I]beta1^beta2 é
[I]beta1^beta2 = -1 & 2 0 & 2

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