Sejam , três bases ordenadas do . Ache:
a)
b)
c)
d) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. Temos três bases ordenadas do :
O que o exercício quer é que a gente encontre as matrizes de mudança de base para a transformação identidade entre essas bases. Isso faz parte do conteúdo de Mudança de Base em Álgebra Linear. Vamos precisar lembrar como construir a matriz de mudança de base de uma base para outra.
Passo 2
Para encontrar a matriz de mudança de base , precisamos expressar cada vetor da base na base . Isso significa que vamos escrever cada vetor de como uma combinação linear dos vetores de .
Passo 3
Vamos começar com o primeiro vetor de , que é . Queremos encontrar escalares e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, da segunda equação temos . Substituindo na primeira, , então .
Passo 4
Agora, vamos para o segundo vetor de , que é . Queremos encontrar escalares e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, , então .
Passo 5
Agora que encontramos as coordenadas de cada vetor de na base , podemos montar a matriz de mudança de base . Essa matriz tem como colunas as coordenadas que encontramos: