Sejam
, três bases ordenadas do
. Ache:
a)
b)
c)
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. Temos três bases ordenadas do
:
O que o exercício quer é que a gente encontre as matrizes de mudança de base para a transformação identidade entre essas bases. Isso faz parte do conteúdo de Mudança de Base em Álgebra Linear. Vamos precisar lembrar como construir a matriz de mudança de base de uma base para outra.
Passo 2
Para encontrar a matriz de mudança de base
, precisamos expressar cada vetor da base
na base
. Isso significa que vamos escrever cada vetor de
como uma combinação linear dos vetores de
.
Passo 3
Vamos começar com o primeiro vetor de
, que é
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, da segunda equação temos
. Substituindo na primeira,
, então
.
Passo 4
Agora, vamos para o segundo vetor de
, que é
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira,
, então
.
Passo 5
Agora que encontramos as coordenadas de cada vetor de
na base
, podemos montar a matriz de mudança de base
. Essa matriz tem como colunas as coordenadas que encontramos:
Resposta
a) A matriz de mudança de base
é