Suponha que E=F1 oplus F2=G1 oplus G2. Se F1 subset G1 e F2 subset G2, mostre que F1=G1 e F2=G2.

Passo 1

Então, galera, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem dois espaços vetoriais, . A condição é que e . Nosso objetivo aqui é mostrar que, na verdade, e . Vamos usar conceitos de soma direta e subespaços para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . A soma direta indica que todo vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de . Isso implica que a interseção de e é apenas o vetor zero, ou seja, .

Passo 3

Agora, como também, a mesma coisa vale para e : todo vetor em pode ser escrito de maneira única como uma soma de um vetor de e um vetor de , e .

Passo 4

Sabemos que e . Isso significa que todo vetor em está também em , e o mesmo para em .

Passo 5

Vamos pegar um vetor qualquer . Como , podemos escrever como , onde e .

Passo 6

Mas também está em , e , então a decomposição de em e é única. Isso significa que tem que ser zero, porque senão teríamos duas decomposições diferentes para .

Passo 7

Com , temos que , e como e , concluímos que . Portanto, todo vetor em está em , ou seja, .

Passo 8

Já que sabemos que e , temos que .

Passo 9

De maneira similar, podemos mostrar que seguindo os mesmos passos utilizados para e .

Resposta

Assim, concluímos que e .

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