Suponha que
. Se
e
, mostre que
e
.
Passo 1
Então, galera, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem dois espaços vetoriais,
. A condição é que
e
. Nosso objetivo aqui é mostrar que, na verdade,
e
. Vamos usar conceitos de soma direta e subespaços para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. A soma direta indica que todo vetor em
pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Isso implica que a interseção de
e
é apenas o vetor zero, ou seja,
.
Passo 3
Agora, como
também, a mesma coisa vale para
e
: todo vetor em
pode ser escrito de maneira única como uma soma de um vetor de
e um vetor de
, e
.
Passo 4
Sabemos que
e
. Isso significa que todo vetor em
está também em
, e o mesmo para
em
.
Passo 5
Vamos pegar um vetor qualquer
. Como
, podemos escrever
como
, onde
e
.
Passo 6
Mas
também está em
, e
, então a decomposição de
em
e
é única. Isso significa que
tem que ser zero, porque senão teríamos duas decomposições diferentes para
.
Passo 7
Com
, temos que
, e como
e
, concluímos que
. Portanto, todo vetor em
está em
, ou seja,
.
Passo 8
Já que sabemos que
e
, temos que
.
Passo 9
De maneira similar, podemos mostrar que
seguindo os mesmos passos utilizados para
e
.
Resposta
Assim, concluímos que
e
.
Exercícios relacionados
Seja
a equação de um plano
que não passa pela origem e corta os três eixos.
Ache o ponto de interseção do plano com os eixos.
Ache o ponto de interseção do plano
Sejam
, e
Demonstre que esses quatro pontos são coplanares, mas não colineares.
Demonstre que esses quatro pontos são coplanares, mas não colineares.
Seja
a equação de um plano
que não passa pela origem e corta os três eixos.
Determine a equação do plano que passa pelos pontos e
.
Determine a equação do plano que passa pelos pontos
Sejam
, três bases ordenadas do
. Ache:
a)
b)
c)
d) .
a)
b)
c)
d)