Seja
uma sequência definida por
e
a) Calcule os 6 primeiros termos dessa sequência.
b) Mostre que essa sequência é monótona.(Dica: complete quadrados na recorrência).
c) Mostre que essa sequência é limitada.
d) Justifique por que
é convergente e calcule seu limite.
b) Mostre que essa sequência é monótona.(Dica: complete quadrados na recorrência).
c) Mostre que essa sequência é limitada.
d) Justifique por que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por
e a relação de recorrência:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve sequências recursivas, monotonicidade, limites e propriedades de sequências limitadas. Vamos precisar calcular os termos, verificar se a sequência é crescente ou decrescente, mostrar que ela não “vai pro infinito” e, por fim, determinar para onde ela está convergindo.
Passo 2
a) Calcular os 6 primeiros termos da sequência.
Vamos calcular passo a passo usando a fórmula dada:
-
(já dado) -
-
-
-
Calculando numericamente:
-
Passo 3
b) Mostrar que a sequência é monótona.
Para mostrar que a sequência é monótona, vamos verificar se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo.
Vamos considerar a relação de recorrência:
Queremos mostrar que
ou
para todo
.
Subtraindo
dos dois lados:
Para que a sequência seja decrescente (
), precisamos que:
Se
, então
.
Agora, vamos analisar os primeiros termos:
-
, => -
, => -
, => - E assim por diante.
Observamos que após
,
fica próximo de 2, fazendo com que a sequência seja decrescente a partir desse ponto.
Passo 4
c) Mostrar que a sequência é limitada.
Já vimos que a sequência é decrescente a partir de
e que
porque:
Portanto, a sequência está limitada inferiormente por
e superiormente pelo primeiro termo, que é 1, mas como vimos que após
começa a diminuir, podemos considerar que a sequência está limitada inferiormente por
e não ultrapassa esse valor.
Passo 5
d) Justificar por que
é convergente e calcular seu limite.
Como a sequência é monótona (decrescente a partir de certo ponto) e limitada inferiormente, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela converge.
Vamos chamar o limite de
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Assim,
(considerando apenas a solução positiva, já que os termos da sequência são positivos).
Resposta
a) Os 6 primeiros termos da sequência são:
,
,
,
,
e
.
b) A sequência é monótona decrescente a partir de
.
c) A sequência é limitada inferiormente por
.
d) A sequência
é convergente e seu limite é
.
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Uma caixa com água de 1000 litros te um furo no fundo por onde escoa água a uma vazão constante. A meio dia de certo dia ela foi cheia e, às 6:00 da tarde desse dia, só tinha 850 litros. Quando ficará pela metade?
Usando o teorema do confronto, calcule o limite da sequência
. Em seguida, considere
, onde
são constantes e calcule seu limite.
Determine a função quadrática
que o gráfico passa pelos pontos:
e
.
Determine o domínio e a imagem das funções a seguir: