Seja uma sequência definida por e
a) Calcule os 6 primeiros termos dessa sequência.
b) Mostre que essa sequência é monótona.(Dica: complete quadrados na recorrência).
c) Mostre que essa sequência é limitada.
d) Justifique por que é convergente e calcule seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por e a relação de recorrência:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve sequências recursivas, monotonicidade, limites e propriedades de sequências limitadas. Vamos precisar calcular os termos, verificar se a sequência é crescente ou decrescente, mostrar que ela não “vai pro infinito” e, por fim, determinar para onde ela está convergindo.

Passo 2

a) Calcular os 6 primeiros termos da sequência.
Vamos calcular passo a passo usando a fórmula dada:
  • (já dado)

  • Calculando numericamente:

Passo 3

b) Mostrar que a sequência é monótona.
Para mostrar que a sequência é monótona, vamos verificar se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo.
Vamos considerar a relação de recorrência:
Queremos mostrar que ou para todo .
Subtraindo dos dois lados:
Para que a sequência seja decrescente ( ), precisamos que:
Se , então .
Agora, vamos analisar os primeiros termos:
  • , =>
  • , =>
  • , =>
  • E assim por diante.
Observamos que após , fica próximo de 2, fazendo com que a sequência seja decrescente a partir desse ponto.

Passo 4

c) Mostrar que a sequência é limitada.
Já vimos que a sequência é decrescente a partir de e que porque:
Portanto, a sequência está limitada inferiormente por e superiormente pelo primeiro termo, que é 1, mas como vimos que após começa a diminuir, podemos considerar que a sequência está limitada inferiormente por e não ultrapassa esse valor.

Passo 5

d) Justificar por que é convergente e calcular seu limite.
Como a sequência é monótona (decrescente a partir de certo ponto) e limitada inferiormente, pelo Teorema da Convergência Monótona, ela converge.
Vamos chamar o limite de :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Assim, (considerando apenas a solução positiva, já que os termos da sequência são positivos).

Resposta

a) Os 6 primeiros termos da sequência são: , , , , e .
b) A sequência é monótona decrescente a partir de .
c) A sequência é limitada inferiormente por .
d) A sequência é convergente e seu limite é .

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