1. Utilizando o Exercício 1, determine a única função y = y(x), x in R R, que satisfaça as condições dadas.
    a) d y/d x = 2 y e y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a única função que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial . Vamos usar conceitos de equações diferenciais e condições iniciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial . Isso significa que a taxa de variação de em relação a é igual a duas vezes o valor de . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e tem soluções exponenciais.

Passo 3

A solução geral para uma equação diferencial da forma , onde é uma constante, é , onde é a constante de integração que precisamos encontrar usando a condição inicial.

Passo 4

No nosso caso, , então a solução geral fica:
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de .

Passo 5

Substituindo e na equação:

Resposta

A função que satisfaz as condições dadas é:

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