Seja y = t x, onde x = x(t) é uma função derivável até 2^a ordem. Verifique que d^2y/dt^2 = 6tx + 6t^2 dx/dt + t^3 d^2x/dt^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com derivadas, especificamente a segunda derivada de uma função. Temos que verificar que, se , onde é uma função que pode ser diferenciada até a segunda ordem, então:
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas de funções que são produtos de outras funções e usar a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a . Sabemos que , então para derivar, usamos a regra do produto, que diz que:
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
Aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada de , ou seja, a derivada da primeira derivada que acabamos de calcular:
Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de usando a regra do produto novamente, onde agora e :

Passo 4

Agora, juntando as duas partes derivadas:
Mas isso não parece combinar com o que queremos verificar. Vamos revisar os passos para encontrar onde pode ter ocorrido um erro.

Passo 5

Percebemos que, na verdade, faltou considerar que também pode depender de de forma mais complexa. Para chegar na expressão dada no enunciado, provavelmente tem uma forma específica que, quando derivada duas vezes, acarreta os termos com elevados a potências maiores.
Entretanto, seguindo os passos corretos da diferenciação, a segunda derivada de é:
Parece que há uma inconsistência com o resultado fornecido no exercício. Uma possível explicação é que o enunciado pode ter mais informações sobre a função que não foram detalhadas, ou pode haver um erro no enunciado.

Resposta

Após calcular as derivadas corretamente, a segunda derivada de é:
Isso não coincide com a expressão fornecida no enunciado, sugerindo uma possível inconsistência ou necessidade de mais informações sobre a função .

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