Seja z=e^2023 /(x-y), mostre que partial zpartial x+partial zpartial y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos mostrar que a soma das derivadas parciais de em relação a e é igual a zero. Isso envolve cálculo diferencial, mais especificamente derivadas parciais. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Sabemos que a derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a . Aqui, .

Passo 3

Calculando u = 2023x - y = 2023 cdot (x - y)^-1 , temos:
partial upartial x = 2023 cdot (-1) cdot (x - y)^-2 cdot 1 = -2023(x - y)^2
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, aplicando a regra da cadeia para partial zpartial x = e^2023x - y cdot ( -2023(x - y)^2 ) = -2023(x - y)^2 cdot e^2023x - y :

Passo 5

De maneira semelhante, vamos calcular a derivada parcial de partial upartial y = 2023 cdot (-1) cdot (x - y)^-2 cdot (-1) = 2023(x - y)^2 em relação a , . Usando a mesma abordagem:
Primeiro, derivando em relação a :

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para partial zpartial y = e^2023x - y cdot ( 2023(x - y)^2 ) = 2023(x - y)^2 cdot e^2023x - y :

Passo 7

Agora, somamos as duas derivadas parciais:
partial zpartial x + partial zpartial y = -2023(x - y)^2 e^2023x - y + 2023(x - y)^2 e^2023x - y = 0

Resposta

Assim, mostramos que .

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