Seja , mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos mostrar que a soma das derivadas parciais de em relação a e é igual a zero. Isso envolve cálculo diferencial, mais especificamente derivadas parciais. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Sabemos que a derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a . Aqui, .

Passo 3

Calculando , temos:
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, aplicando a regra da cadeia para :

Passo 5

De maneira semelhante, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , . Usando a mesma abordagem:
Primeiro, derivando em relação a :

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para :

Passo 7

Agora, somamos as duas derivadas parciais:

Resposta

Assim, mostramos que .

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Se , mostre que .
Use a Regra da Cadeia para determinar .
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Use a Regra da Cadeia para determinar .
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Use a Regra da Cadeia para determinar .
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