Seja . Mostre que é subespaço de . Determine a dimensão de .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos o conjunto . Isso significa que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais que satisfazem a condição .
Estamos sendo solicitados a mostrar que é um subespaço de e a determinar a dimensão de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de subespaço vetorial e dimensão de um espaço vetorial.
Passo 2
Para mostrar que é um subespaço de , precisamos verificar se satisfaz três propriedades:
O vetor zero está em .
Se e estão em , então também está em .
Se está em e é um escalar real, então está em .
Essas propriedades são essenciais para que um conjunto seja considerado um subespaço vetorial.
Passo 3
Propriedade 1: O vetor zero está em .
O vetor zero no espaço é o polinômio . Vamos verificar se :
Portanto, o vetor zero está em .
Passo 4
Propriedade 2: Fechamento sob adição.
Vamos tomar dois polinômios e em . Isso significa que e . Queremos ver se também está em :
Portanto, está em .
Passo 5
Propriedade 3: Fechamento sob multiplicação por escalar.
Vamos pegar um polinômio em e um escalar real. Queremos verificar se está em :
Assim, também está em .
Passo 6
Como todas as três propriedades foram satisfeitas, concluímos que é, de fato, um subespaço de .
Passo 7
Agora, vamos determinar a dimensão de . Sabemos que tem dimensão 4, já que uma base é .
A condição impõe uma restrição linear nos coeficientes do polinômio. Especificamente, se , então:
Isso significa que apenas 3 dos 4 coeficientes são independentes. Portanto, a dimensão de é 3.