Seja
. Mostre que
é subespaço de
. Determine a dimensão de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos o conjunto
. Isso significa que
é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais que satisfazem a condição
.
Estamos sendo solicitados a mostrar que
é um subespaço de
e a determinar a dimensão de
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de subespaço vetorial e dimensão de um espaço vetorial.
Passo 2
Para mostrar que
é um subespaço de
, precisamos verificar se
satisfaz três propriedades:
- O vetor zero está em
. - Se
e estão em , então também está em . - Se
está em e é um escalar real, então está em .
Essas propriedades são essenciais para que um conjunto seja considerado um subespaço vetorial.
Passo 3
Propriedade 1: O vetor zero está em
.
O vetor zero no espaço
é o polinômio
. Vamos verificar se
:
Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 4
Propriedade 2: Fechamento sob adição.
Vamos tomar dois polinômios
e
em
. Isso significa que
e
. Queremos ver se
também está em
:
Portanto,
está em
.
Passo 5
Propriedade 3: Fechamento sob multiplicação por escalar.
Vamos pegar um polinômio
em
e um escalar
real. Queremos verificar se
está em
:
Assim,
também está em
.
Passo 6
Como todas as três propriedades foram satisfeitas, concluímos que
é, de fato, um subespaço de
.
Passo 7
Agora, vamos determinar a dimensão de
. Sabemos que
tem dimensão 4, já que uma base é
.
A condição
impõe uma restrição linear nos coeficientes do polinômio. Especificamente, se
, então:
Isso significa que apenas 3 dos 4 coeficientes são independentes. Portanto, a dimensão de
é 3.