Seja Z=p in P3(R) ; p(1)=0. Mostre que Z é subespaço de P3(R). Determine a dimensão de Z.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos o conjunto . Isso significa que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais que satisfazem a condição .
Estamos sendo solicitados a mostrar que é um subespaço de e a determinar a dimensão de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de subespaço vetorial e dimensão de um espaço vetorial.

Passo 2

Para mostrar que é um subespaço de , precisamos verificar se satisfaz três propriedades:
  1. O vetor zero está em .
  2. Se e estão em , então também está em .
  3. Se está em e é um escalar real, então está em .
Essas propriedades são essenciais para que um conjunto seja considerado um subespaço vetorial.

Passo 3

Propriedade 1: O vetor zero está em p(1) = 0 implies 0 = 0 .
O vetor zero no espaço é o polinômio . Vamos verificar se :
Portanto, o vetor zero está em .

Passo 4

Propriedade 2: Fechamento sob adição.
Vamos tomar dois polinômios (p + q)(1) = p(1) + q(1) = 0 + 0 = 0 e em . Isso significa que e . Queremos ver se também está em :
Portanto, está em .

Passo 5

Propriedade 3: Fechamento sob multiplicação por escalar.
Vamos pegar um polinômio (c cdot p)(1) = c cdot p(1) = c cdot 0 = 0 em e um escalar real. Queremos verificar se está em :
Assim, também está em .

Passo 6

Como todas as três propriedades foram satisfeitas, concluímos que é, de fato, um subespaço de .

Passo 7

Agora, vamos determinar a dimensão de p(1) = a + b + c + d = 0 . Sabemos que tem dimensão 4, já que uma base é .
A condição impõe uma restrição linear nos coeficientes do polinômio. Especificamente, se , então:
Isso significa que apenas 3 dos 4 coeficientes são independentes. Portanto, a dimensão de é 3.

Resposta

é um subespaço de e sua dimensão é 3.

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