Um triângulo tem vértices A, B e C. Prove que X é um ponto interior ao triang<= A B C se, e somente se, existem reais alpha e beta, alpha>0, beta>0, tais que alpha+beta<1 e C X=alpha C A+beta C B. (Lembrete: Um ponto é dito interior a uma triângulo se, e somente se, é interior a uma segmento que tem uma extremidade em um vértice e a outra extremidade interior ao lado oposto.)

Passo 1

Vamos lá! O problema fala sobre um triângulo com vértices e e quer que a gente prove que um ponto está dentro desse triângulo se e somente se existirem números reais e , ambos maiores que zero, com , tal que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e combinações lineares dentro da geometria dos triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, e são vetores que saem do ponto em direção aos pontos e , respectivamente. Os coeficientes e pesam esses vetores para encontrar a posição do ponto a partir de .

Passo 3

Agora, vamos dividir a prova em duas partes:
  1. Se está dentro do triângulo, então existem e que satisfazem as condições dadas.
  2. Se existem e que satisfazem as condições, então está dentro do triângulo.

Passo 4

Parte 1: está dentro do triângulo implica na existência de e .
Como está dentro do triângulo, podemos traçar segmentos de a e de a . O ponto pode ser representado como uma combinação desses segmentos. Isso significa que podemos escrever como uma combinação linear dos vetores e .
Definindo , queremos que , e para garantir que esteja realmente dentro do triângulo.

Passo 5

Parte 2: A existência de e implica que está dentro do triângulo .
Se existem e com tal que , isso significa que está numa posição que é uma combinação ponderada dos vetores e , mas sem ultrapassar o limite definido por . Portanto, não sai do triângulo e está realmente dentro dele.

Resposta

Concluímos que o ponto está interior ao triângulo se e somente se existirem reais e , ambos maiores que zero, com , satisfazendo a equação .

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M B
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Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base C=(H L, H N).
A K
Seja Z=p in P3(R) ; p(1)=0. Mostre que Z é subespaço de P3(R). Determine a dimensão de Z.