Um triângulo tem vértices e . Prove que é um ponto interior ao se, e somente se, existem reais e , tais que e . (Lembrete: Um ponto é dito interior a uma triângulo se, e somente se, é interior a uma segmento que tem uma extremidade em um vértice e a outra extremidade interior ao lado oposto.)
Passo 1
Vamos lá! O problema fala sobre um triângulo com vértices e e quer que a gente prove que um ponto está dentro desse triângulo se e somente se existirem números reais e , ambos maiores que zero, com , tal que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e combinações lineares dentro da geometria dos triângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, e são vetores que saem do ponto em direção aos pontos e , respectivamente. Os coeficientes e pesam esses vetores para encontrar a posição do ponto a partir de .
Passo 3
Agora, vamos dividir a prova em duas partes:
Se está dentro do triângulo, então existem e que satisfazem as condições dadas.
Se existem e que satisfazem as condições, então está dentro do triângulo.
Passo 4
Parte 1: está dentro do triângulo implica na existência de e .
Como está dentro do triângulo, podemos traçar segmentos de a e de a . O ponto pode ser representado como uma combinação desses segmentos. Isso significa que podemos escrever como uma combinação linear dos vetores e .
Definindo , queremos que , e para garantir que esteja realmente dentro do triângulo.
Passo 5
Parte 2: A existência de e implica que está dentro do triângulo .
Se existem e com tal que , isso significa que está numa posição que é uma combinação ponderada dos vetores e , mas sem ultrapassar o limite definido por . Portanto, não sai do triângulo e está realmente dentro dele.
Resposta
Concluímos que o ponto está interior ao triângulo se e somente se existirem reais e , ambos maiores que zero, com , satisfazendo a equação .