Seja z = sen(y^2 - 4x). Determine a taxa de variação de z em relação a x no ponto (2,1) com y fixo;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos determinar a taxa de variação de em relação a no ponto , com fixo. Isso significa que vamos calcular a derivada parcial de em relação a , mantendo constante. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia da derivada.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a . A função é uma função composta, onde o argumento do seno é . Para derivar em relação a , onde , usamos a regra da cadeia:

Passo 3

Calculemos . Sabemos que:
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos e na expressão da derivada:
Simplificando:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a taxa de variação no ponto . Substituímos e na expressão da derivada:
Lembrando que , então:

Resposta

A taxa de variação de em relação a no ponto com fixo é .

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