Seja , e .
a) Determine e .
b) Determine e quando e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A gente vai trabalhar com funções em coordenadas cartesianas e polares. No caso, temos , e sabemos que e . O que vamos precisar aqui é entender como calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever em termos de e . Substituindo e na expressão de , temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Vamos expandir os quadrados:

Passo 4

Podemos fatorar o de todo termo:

Passo 5

Para encontrar as derivadas parciais, precisamos derivar com relação a e separadamente. Vamos começar com .
A derivada de em relação a é:

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a . Lembre-se que é tratado como uma constante nessa derivada. A derivada será:
Simplificando:

Passo 7

Simplificamos ainda mais usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que . Então:

Passo 8

Agora que já temos as expressões das derivadas parciais, vamos resumir:

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Precisamos calcular essas derivadas quando e .

Passo 10

Primeiro, substituímos e na expressão de :
Sabemos que . Então:
Para :

Resposta

Quando e , as derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Para as espécies químicas abaixo, identifique: a) Qual a ordem de ligação, b) quais os tipos de ligações envolvidas; c) identifique se as espécies são paramagnéticas ou diamagnéticas.
I) e
Determine o domínio da função .
Calcule a integral dupla , onde é a região limitada pelas retas , e .
Seja .
a) Determine os intervalos onde é crescente e decrescente.
b) Determine os valores de máximo e mínimo locais de .
c) Determine os intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima e côncavo para baixo.
d) Determine os pontos de inflexão do gráfico de .
e) Esboce o gráfico de .