Seja z = x^2 + 2y^2, x = r cos theta e y = r sen theta.
a) Determine partial zpartial r e partial zpartial theta.
b) Determine partial zpartial r e partial zpartial theta quando r = 2 e theta = pi4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A gente vai trabalhar com funções em coordenadas cartesianas e polares. No caso, temos , e sabemos que e . O que vamos precisar aqui é entender como calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever z = (r cos theta)^2 + 2(r sin theta)^2 em termos de e . Substituindo e na expressão de , temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Vamos expandir os quadrados:
z = r^2 cos^2 theta + 2r^2 sin^2 theta

Passo 4

Podemos fatorar o z = r^2 (cos^2 theta + 2 sin^2 theta) de todo termo:

Passo 5

Para encontrar as derivadas parciais, precisamos derivar partial zpartial r = 2r (cos^2 theta + 2 sin^2 theta) com relação a e separadamente. Vamos começar com .
A derivada de em relação a é:

Passo 6

Agora, vamos derivar partial zpartial theta = r^2 (2 cos theta (-sin theta) + 4 sin theta cos theta) em relação a partial zpartial theta = r^2 ( -2 sin theta cos theta + 4 sin theta cos theta ) = r^2 (2 sin theta cos theta) . Lembre-se que é tratado como uma constante nessa derivada. A derivada será:
Simplificando:

Passo 7

Simplificamos ainda mais usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que partial zpartial theta = r^2 sin 2theta . Então:

Passo 8

Agora que já temos as expressões das derivadas parciais, vamos resumir:
partial zpartial r = 2r (cos^2 theta + 2 sin^2 theta)
partial zpartial theta = r^2 sin 2theta

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Precisamos calcular essas derivadas quando e .

Passo 10

Primeiro, substituímos partial zpartial r = 2(2) (cos^2 pi4 + 2 sin^2 pi4) e partial zpartial r = 4 ( (raiz22)^2 + 2 (raiz22)^2 ) = 4 ( 12 + 2 cdot 12 ) = 4 ( 12 + 1 ) = 4 cdot 32 = 6 na expressão de partial zpartial theta = (2)^2 sin (2 cdot pi4) = 4 sin (pi2) = 4 cdot 1 = 4 :
Sabemos que . Então:
Para :

Resposta

Quando partial zpartial r = 6 e partial zpartial theta = 4 , as derivadas parciais são:

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