Seja
,
e
.
a) Determine
e
.
b) Determine
e
quando
e
.
a) Determine
b) Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A gente vai trabalhar com funções em coordenadas cartesianas e polares. No caso, temos
, e sabemos que
e
. O que vamos precisar aqui é entender como calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
em termos de
e
. Substituindo
e
na expressão de
, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Vamos expandir os quadrados:
Passo 4
Podemos fatorar o
de todo termo:
Passo 5
Para encontrar as derivadas parciais, precisamos derivar
com relação a
e
separadamente. Vamos começar com
.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
. Lembre-se que
é tratado como uma constante nessa derivada. A derivada será:
Simplificando:
Passo 7
Simplificamos ainda mais usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que
. Então:
Passo 8
Agora que já temos as expressões das derivadas parciais, vamos resumir:
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b) do exercício. Precisamos calcular essas derivadas quando
e
.
Passo 10
Primeiro, substituímos
e
na expressão de
:
Sabemos que
. Então:
Para
:
Resposta
Quando
e
, as derivadas parciais são: