Seja z = x + i y. Calcule os valores de z que satisfazem as equações abaixo. Represente as soluções no plano complexo.
z^2 = i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um número complexo e precisa encontrar os valores de que satisfazem a equação . Para isso, vamos trabalhar com operações de números complexos e usar um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir . Sabemos que , então:
Lembrando que , então:

Passo 3

Agora, sabemos que . Podemos igualar as partes real e imaginária das duas expressões:
á

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
Substituindo na segunda equação:
Então, se :
Substituindo na segunda equação:
Mas não pode ser negativo, então essa solução não é válida.

Passo 5

Portanto, as soluções são:

Passo 6

Para representar essas soluções no plano complexo, fazemos o seguinte:
  • O eixo horizontal representa a parte real ( ).
  • O eixo vertical representa a parte imaginária ( ).
As soluções são dois pontos que ficam em ângulos de e em relação ao eixo real, ambos a uma distância de do ponto de origem.

Resposta

As soluções que satisfazem são:
E elas estão localizadas no plano complexo nos pontos e .

Exercícios relacionados