Seja
. Calcule os valores de
que satisfazem as equações abaixo. Represente as soluções no plano complexo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um número complexo
e precisa encontrar os valores de
que satisfazem a equação
. Para isso, vamos trabalhar com operações de números complexos e usar um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir
. Sabemos que
, então:
Lembrando que
, então:
Passo 3
Agora, sabemos que
. Podemos igualar as partes real e imaginária das duas expressões:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
- Da primeira equação:
⇒ - Da segunda equação:
Substituindo
na segunda equação:
Então, se
:
Substituindo
na segunda equação:
Mas
não pode ser negativo, então essa solução não é válida.
Passo 5
Portanto, as soluções são:
Passo 6
Para representar essas soluções no plano complexo, fazemos o seguinte:
- O eixo horizontal representa a parte real (
). - O eixo vertical representa a parte imaginária (
).
As soluções são dois pontos que ficam em ângulos de
e
em relação ao eixo real, ambos a uma distância de
do ponto de origem.
Resposta
As soluções que satisfazem
são:
E elas estão localizadas no plano complexo nos pontos
e
.
Exercícios relacionados
A velocidade
do sangue que circula em uma veia com raio R e comprimento
a uma distância
do eixo central é
Onde
é a diferença de pressão entre as extremidades da veia e
é a viscosidade do sangue. Encontre a velocidade média (em relação a
) ao longo do intervalo de
. Compare a velocidade média com a velocidade máxima.
Determine
e o conjunto no qual
é continua.
Resolva os sistemas abaixo, para identificar
no plano complexo.
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique cada resposta. Qualquer sequência que satisfaça
é tal que
, independentemente da sequência
.