Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique cada resposta. Qualquer sequência que satisfaça é tal que , independentemente da sequência .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos que verificar se a afirmação "Qualquer sequência que satisfaça é tal que , independentemente da sequência " é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, sabemos que se , então os termos se aproximam de zero conforme cresce. A questão quer saber se, multiplicando por qualquer sequência , o limite do produto também será zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos analisar o que acontece com o produto . Se for uma sequência limitada (isto é, seus termos não crescem sem limite), então o produto também tenderá a zero, já que está indo para zero e está limitado.

Passo 4

No entanto, se a sequência não for limitada e, por exemplo, crescer sem limite (como ), mesmo que tenda a zero, o produto pode não tender a zero. Por exemplo, se e , então para todo , que não tende a zero.

Passo 5

Isso mostra que a afirmação original não é verdadeira para todas as sequências . Existem casos onde, mesmo com tendendo a zero, o produto não tende a zero se não for limitado.

Resposta

A afirmação é falsa, pois existem sequências não limitadas que fazem com que mesmo quando .

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