Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique cada resposta. Qualquer sequência que satisfaça lim n +infty an=0 é tal que lim n +infty an bn=0, independentemente da sequência bn.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos que verificar se a afirmação "Qualquer sequência que satisfaça lim n +infty an=0 é tal que lim n +infty an bn=0, independentemente da sequência bn" é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, sabemos que se limn to infty an = 0, então os termos an se aproximam de zero conforme n cresce. A questão quer saber se, multiplicando an por qualquer sequência bn, o limite do produto também será zero, ou seja, limn to infty an bn = 0.

Passo 3

Vamos analisar o que acontece com o produto an bn. Se bn for uma sequência limitada (isto é, seus termos não crescem sem limite), então o produto an bn também tenderá a zero, já que an está indo para zero e bn está limitado.

Passo 4

No entanto, se a sequência bn não for limitada e, por exemplo, crescer sem limite (como bn = n), mesmo que an tenda a zero, o produto an bn pode não tender a zero. Por exemplo, se an = 1n e bn = n, então an bn = 1 para todo n, que não tende a zero.

Passo 5

Isso mostra que a afirmação original não é verdadeira para todas as sequências bn. Existem casos onde, mesmo com an tendendo a zero, o produto an bn não tende a zero se bn não for limitado.

Resposta

A afirmação é falsa, pois existem sequências bn não limitadas que fazem com que lim n +infty an bn neq 0 mesmo quando lim n +infty an=0.

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