Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique cada resposta. Qualquer sequência que satisfaça
é tal que
, independentemente da sequência
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos que verificar se a afirmação "Qualquer sequência que satisfaça
é tal que
, independentemente da sequência
" é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, sabemos que se
, então os termos
se aproximam de zero conforme
cresce. A questão quer saber se, multiplicando
por qualquer sequência
, o limite do produto também será zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos analisar o que acontece com o produto
. Se
for uma sequência limitada (isto é, seus termos não crescem sem limite), então o produto
também tenderá a zero, já que
está indo para zero e
está limitado.
Passo 4
No entanto, se a sequência
não for limitada e, por exemplo, crescer sem limite (como
), mesmo que
tenda a zero, o produto
pode não tender a zero. Por exemplo, se
e
, então
para todo
, que não tende a zero.
Passo 5
Isso mostra que a afirmação original não é verdadeira para todas as sequências
. Existem casos onde, mesmo com
tendendo a zero, o produto
não tende a zero se
não for limitado.
Resposta
A afirmação é falsa, pois existem sequências
não limitadas que fazem com que
mesmo quando
.
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no plano complexo.
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. Calcule os valores de
que satisfazem as equações abaixo. Represente as soluções no plano complexo.
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e
.
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique cada resposta.
.