A velocidade
do sangue que circula em uma veia com raio R e comprimento
a uma distância
do eixo central é
Onde
é a diferença de pressão entre as extremidades da veia e
é a viscosidade do sangue. Encontre a velocidade média (em relação a
) ao longo do intervalo de
. Compare a velocidade média com a velocidade máxima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a velocidade média do sangue em uma veia, levando em conta que a velocidade em qualquer ponto depende da distância desse ponto ao centro da veia. Estamos lidando com conceitos de fluídica, especificamente com o perfil de velocidade em fluxo laminar. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função da velocidade em relação ao raio e depois comparar a média com a velocidade máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função da velocidade dada:
Aqui,
é a velocidade do sangue a uma distância
do centro da veia.
é a diferença de pressão,
é a viscosidade do sangue,
é o comprimento da veia, e
é o raio da veia.
Passo 3
Para encontrar a velocidade média
, precisamos integrar
sobre a área da seção transversal da veia e depois dividir pela área total. Em termos matemáticos:
Onde
é a área da seção transversal da veia.
Passo 4
Vamos calcular a área
da seção transversal, que é um círculo:
Passo 5
Agora, vamos expressar a integral em coordenadas polares, já que a função
depende do raio
. Em coordenadas polares, o elemento de área
é:
Passo 6
Substituindo
e
na integral para
:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Cancelando
e simplificando os coeficientes:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral completa é:
Passo 9
Substituindo o valor da integral de volta na expressão para
:
Passo 10
Agora, vamos encontrar a velocidade máxima. Olhando a função
:
A velocidade máxima ocorre quando
:
Passo 11
Comparando a velocidade média
com a velocidade máxima
:
Resposta
A velocidade média do sangue na veia é metade da velocidade máxima. Ou seja,
Exercícios relacionados
Determine
e o conjunto no qual
é continua.
Calcule os limites:
Seja
. Calcule os valores de
que satisfazem as equações abaixo. Represente as soluções no plano complexo.
Resolva os sistemas abaixo, para identificar
no plano complexo.