A velocidade do sangue que circula em uma veia com raio R e comprimento a uma distância do eixo central é
Onde é a diferença de pressão entre as extremidades da veia e é a viscosidade do sangue. Encontre a velocidade média (em relação a ) ao longo do intervalo de . Compare a velocidade média com a velocidade máxima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a velocidade média do sangue em uma veia, levando em conta que a velocidade em qualquer ponto depende da distância desse ponto ao centro da veia. Estamos lidando com conceitos de fluídica, especificamente com o perfil de velocidade em fluxo laminar. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função da velocidade em relação ao raio e depois comparar a média com a velocidade máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função da velocidade dada:
Aqui, é a velocidade do sangue a uma distância do centro da veia. é a diferença de pressão, é a viscosidade do sangue, é o comprimento da veia, e é o raio da veia.

Passo 3

Para encontrar a velocidade média , precisamos integrar sobre a área da seção transversal da veia e depois dividir pela área total. Em termos matemáticos:
Onde é a área da seção transversal da veia.

Passo 4

Vamos calcular a área da seção transversal, que é um círculo:

Passo 5

Agora, vamos expressar a integral em coordenadas polares, já que a função depende do raio . Em coordenadas polares, o elemento de área é:

Passo 6

Substituindo e na integral para :

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Cancelando e simplificando os coeficientes:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral completa é:

Passo 9

Substituindo o valor da integral de volta na expressão para :

Passo 10

Agora, vamos encontrar a velocidade máxima. Olhando a função :
A velocidade máxima ocorre quando :
á

Passo 11

Comparando a velocidade média com a velocidade máxima á:
á

Resposta

A velocidade média do sangue na veia é metade da velocidade máxima. Ou seja,
á

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