Seja z = x + i y. Calcule os valores de z que satisfazem as equações abaixo. Represente as soluções no plano complexo.
Im(2z + 4i) = 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um número complexo e precisamos encontrar os valores de que satisfazem a equação . Aqui, estamos trabalhando com números complexos e focando na parte imaginária da expressão. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular números complexos e extrair suas partes real e imaginária.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Sabemos que multiplicar por 2 significa multiplicar tanto a parte real quanto a imaginária por 2:
Então, somando :

Passo 3

Agora, identificamos a parte imaginária dessa expressão. A parte imaginária de é . Sabemos que essa parte deve ser igual a 3, conforme a equação dada:

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar o valor de :

Passo 5

Com o valor de encontrado, podemos escrever a forma de . Como , substituindo :
Aqui, pode ser qualquer número real, já que não há restrições para a parte real.

Resposta

Os valores de que satisfazem a equação são todos os números complexos da forma , onde é um número real qualquer. No plano complexo, isso corresponde a uma reta horizontal passando pelo ponto .

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