Sejam
e
.
Prove que
, usando o PIF no momento oportuno.
Prove que
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos dois conjuntos:
-
: Isso significa que contém todos os números que podem ser formados somando múltiplos de 3 e 7. -
: Aqui, inclui todos os números naturais cujo quadrado é menor que 150.
O objetivo é provar que a união desses dois conjuntos,
, abrange todos os números naturais
. Para isso, vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que nos ajuda a mostrar que uma propriedade é verdadeira para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que
contém. Como
, precisamos encontrar até que número
:
Então,
. Ou seja, os números de 1 a 12 estão garantidos em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto
. Ele contém todos os números que podem ser escritos como
onde
e
são naturais. Observando os múltiplos de 3 e 7, podemos ver que a partir de um certo ponto, todos os números podem ser formados por essas combinações.
Por exemplo:
- Para
: - Para
:
E assim por diante. Isso mostra que a partir de 13, todos os números podem pertencer a
.
Passo 4
Então, juntando as informações:
-
cobre de 1 a 12. -
cobre 13 em diante.
Isso significa que qualquer número natural
está ou em
(se
) ou em
(se
).
Resposta
Portanto,
, ou seja, a união dos conjuntos
e
abrange todos os números naturais.
Exercícios relacionados
Para quais valores inteiros de
vale que
? Justifique sua resposta.
Calcule
para
e
.
Sejam
e
. Escreva
e
utilizando a notação de intervalo e determine
.
Em cada caso, determine (se houver)
e
: