Para quais valores inteiros de n vale que 2^n > 3n ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Então, você quer descobrir para quais números inteiros a desigualdade é verdadeira. Vamos usar conceitos de funções exponenciais e lineares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a desigualdade para diferentes valores de . Vamos começar com números negativos, depois testar e, por fim, os positivos.

Passo 3

Para :
  • Quando é negativo, é igual a , que é sempre positivo.
  • será negativo porque multiplicamos 3 por um número negativo.
  • Então, (positivo) sempre será maior que (negativo) quando é menor ou igual a zero.

Passo 4

Agora, vamos ver os valores positivos de :
  • Para :
    Aqui, , então não satisfaz a desigualdade.
  • Para :
    Novamente, , então não satisfaz.
  • Para :
    Aqui, , ainda não satisfaz.
  • Para :
    Agora sim, , então satisfaz.
  • Para :
    Claro, , satisfaz.
  • E assim por diante: À medida que aumentamos , cresce muito mais rápido que , então sempre será maior para .

Resposta

A desigualdade é verdadeira para todos os números inteiros menores ou iguais a zero ( ) e para todos os inteiros maiores ou iguais a quatro ( ).

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