Para quais valores inteiros de
vale que
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Então, você quer descobrir para quais números inteiros
a desigualdade
é verdadeira. Vamos usar conceitos de funções exponenciais e lineares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a desigualdade para diferentes valores de
. Vamos começar com números negativos, depois testar
e, por fim, os positivos.
Passo 3
Para
:
- Quando
é negativo, é igual a , que é sempre positivo. - Já
será negativo porque multiplicamos 3 por um número negativo. - Então,
(positivo) sempre será maior que (negativo) quando é menor ou igual a zero.
Passo 4
Agora, vamos ver os valores positivos de
:
-
Para
: Aqui,, então não satisfaz a desigualdade. -
Para
: Novamente,, então não satisfaz. -
Para
: Aqui,, ainda não satisfaz. -
Para
: Agora sim,, então satisfaz. -
Para
: Claro,, satisfaz. -
E assim por diante: À medida que aumentamos
, cresce muito mais rápido que , então sempre será maior para .
Resposta
A desigualdade
é verdadeira para todos os números inteiros
menores ou iguais a zero (
) e para todos os inteiros maiores ou iguais a quatro (
).
Exercícios relacionados
Calcule
para
e
.
Sejam
e
conjuntos. Prove que
se, e somente se,
.
Sejam
e
.
Prove que , usando o PIF no momento oportuno.
Prove que
Sejam
e
. Escreva
e
utilizando a notação de intervalo e determine
.