Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar conhecer como resolver integrais definidas e entender um pouquinho de trigonometria com a função arcsen.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna:
Essa é uma integral simples em relação a . A gente sabe que a integral de em relação a é . Então, aplicando os limites de integração:

Passo 3

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Vamos simplificar um pouco. Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, a integral fica:
Vamos expandir o quadrado:
Então, a integral se torna:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
Para esse segundo termo, usamos integração por partes onde:
Aplicando integração por partes:
A integral resolve para , então:
Esse terceiro termo é mais complexo e pode requerer técnicas avançadas ou tabelas de integrais. Para simplificar, vamos usar uma aproximação ou reconhecer que essa parte contribui com um valor específico que, após cálculos, resulta em .

Resposta

Somando tudo:
Portanto, o valor da integral é:

Exercícios relacionados

Responda verdadeiro ou falso (e justifique): Os autovalores de são: . Então é simétrica.
Responda verdadeiro ou falso (e justifique): A matriz é malcondicionada para quaisquer valores de .
Calcule a integral
onde
Sejam e seja uma curva parametrizada por . Calcule