Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: g) ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. A matéria aqui é Álgebra Linear, e vamos precisar usar os critérios para determinar se um conjunto é um subespaço vetorial, que são: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, a gente verifica se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz as condições de :
Como as duas equações são verdadeiras, o vetor zero está em .
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em . Vamos chamar dois vetores em de e , já que para todos os vetores em .
A soma deles é:
Precisamos verificar se esse vetor satisfaz :
Como e estão em , sabemos que e . Então:
Portanto, a soma está em , e é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, a gente verifica se é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor qualquer em e multiplicarmos por um escalar , o resultado também deve estar em .
Vamos pegar um vetor em e multiplicar por :
Agora, verificamos se :
Como está em , , então:
Logo, o vetor resultante também está em , e é fechado sob multiplicação por escalar.