Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: g)
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial. A matéria aqui é Álgebra Linear, e vamos precisar usar os critérios para determinar se um conjunto é um subespaço vetorial, que são: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, a gente verifica se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz as condições de
:
Como as duas equações são verdadeiras, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Vamos chamar dois vetores em
de
e
, já que
para todos os vetores em
.
A soma deles é:
Precisamos verificar se esse vetor satisfaz
:
Como
e
estão em
, sabemos que
e
. Então:
Portanto, a soma está em
, e
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, a gente verifica se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor qualquer em
e multiplicarmos por um escalar
, o resultado também deve estar em
.
Vamos pegar um vetor
em
e multiplicar por
:
Agora, verificamos se
:
Como
está em
,
, então:
Logo, o vetor resultante também está em
, e
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.