Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: g) W=(x, y, z) in R^3 ; 2 x+y=0, z=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. A matéria aqui é Álgebra Linear, e vamos precisar usar os critérios para determinar se um conjunto é um subespaço vetorial, que são: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, a gente verifica se o vetor zero está em 2(0) + 0 = 0 e 0 = 0 . O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz as condições de :
Como as duas equações são verdadeiras, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto u + v = (x1 + x2, y1 + y2, 0 + 0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0) é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em 2x1 + y1 + 2x2 + y2 = (2x1 + y1) + (2x2 + y2) , a soma deles também deve estar em 0 + 0 = 0 . Vamos chamar dois vetores em de e , já que para todos os vetores em .
A soma deles é:
Precisamos verificar se esse vetor satisfaz :
Como e estão em , sabemos que e . Então:
Portanto, a soma está em , e é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, a gente verifica se c cdot u = (c x, c y, c cdot 0) = (c x, c y, 0) é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor qualquer em 2c x + c y = c(2x + y) e multiplicarmos por um escalar c cdot 0 = 0 , o resultado também deve estar em .
Vamos pegar um vetor em e multiplicar por :
Agora, verificamos se :
Como está em , , então:
Logo, o vetor resultante também está em , e é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

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