Sejam
e
bases ordenadas de
. Se
, determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três bases diferentes para o espaço
:
(a base padrão),
e
. A gente sabe as coordenadas de um vetor
na base
e precisa descobrir como ele fica nas bases
e
. Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e representação de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter as coordenadas de
na base
. O vetor
está representado como
. Isso significa que:
Vamos calcular isso para encontrar as coordenadas de
na base padrão
.
Passo 3
Multiplicando os escalares pelos vetores da base
:
Agora, somamos esses resultados para obter
:
Então, as coordenadas de
na base
(a base padrão) são
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as coordenadas de
na base
. Para isso, precisamos expressar
como uma combinação linear dos vetores da base
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então, as coordenadas de
na base
são
.
Resposta
As coordenadas do vetor
são:
Exercícios relacionados
Dadas as matrizes
e
, determine, se possível:
Verificar quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais do
:
;
Dadas as matrizes
e
, determine, se possível:
Dadas as matrizes
e
, determine, se possível: