Sejam e bases ordenadas de . Se , determine e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três bases diferentes para o espaço : (a base padrão), e . A gente sabe as coordenadas de um vetor na base e precisa descobrir como ele fica nas bases e . Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e representação de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter as coordenadas de na base . O vetor está representado como . Isso significa que:
Vamos calcular isso para encontrar as coordenadas de na base padrão .

Passo 3

Multiplicando os escalares pelos vetores da base :
Agora, somamos esses resultados para obter :
Então, as coordenadas de na base (a base padrão) são .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas de na base . Para isso, precisamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base :
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então, as coordenadas de na base são .

Resposta

As coordenadas do vetor são:

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Dadas as matrizes e , determine, se possível:
Verificar quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais do :
;
Dadas as matrizes e , determine, se possível:
Dadas as matrizes e , determine, se possível: