Sejam alpha=(1,0),(0,1), beta=(-1,1),(1,1) e gamma=(2,0),(0,2) bases ordenadas de R^2. Se [v]beta=[c-1 3], determine [v]alpha e [v]gamma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três bases diferentes para o espaço : (a base padrão), e . A gente sabe as coordenadas de um vetor na base e precisa descobrir como ele fica nas bases e . Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e representação de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter as coordenadas de -1 3 na base v = -1 cdot (-1, 1) + 3 cdot (1, 1) . O vetor está representado como . Isso significa que:
Vamos calcular isso para encontrar as coordenadas de na base padrão .

Passo 3

Multiplicando os escalares pelos vetores da base -1 cdot (-1, 1) = (1, -1) :
3 cdot (1, 1) = (3, 3)
v = (1, -1) + (3, 3) = (1 + 3, -1 + 3) = (4, 2)
Agora, somamos esses resultados para obter :
Então, as coordenadas de na base (a base padrão) são .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas de v = c1 cdot (2, 0) + c2 cdot (0, 2) na base 2c1 + 0c2 = 4 . Para isso, precisamos expressar 0c1 + 2c2 = 2 como uma combinação linear dos vetores da base :
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
2c1 = 4 Rightarrow c1 = 2
Da segunda equação:
2c2 = 2 Rightarrow c2 = 1
Então, as coordenadas de na base são .

Resposta

As coordenadas do vetor [v]alpha = 4 2 e [v]gamma = 2 1 são:

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